Dar sentido matemático a la expresión de la rentabilidad realizada de los bonos

Question

Me encontré con la siguiente afirmación sobre la rentabilidad del bono a 10 años realizada a lo largo de un año:

El rendimiento realizado de los bonos (H) a lo largo de un año tiene dos componentes: los ingresos por rendimiento obtenidos a lo largo del tiempo y la ganancia o pérdida de capital debida a los cambios de rendimiento: $$H_{10} \approx Y_{10}-\text{Duration}_{10} \times \Delta Y_{10}.$$

Soy un completo novato en economía y estoy tratando de entender lo que pasa aquí desde el punto de vista matemático, que voy a presentar aquí, pero mis cálculos no parecen cuadrar.

Si denotamos el cupón del bono con $C$ y el tiempo de la fianza $t=0$ rendimiento al vencimiento con $y_0$ entonces el valor del bono en el momento $t=0$ igual: $$V_0=\frac{C}{1+y_0}+\frac{C}{(1+y_0)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y_0)^9}+\frac{F+C}{(1+y_0)^{10}}.$$

En el momento $t=1$ podemos expresar el valor del bono en función del tiempo $t=1$ rendimiento al vencimiento $y$ , por lo que tenemos $$V_1(y)=\frac{C}{1+y}+\frac{C}{(1+y)^2}+\dots+\frac{C}{(1+y)^8}+\frac{F+C}{(1+y)^{9}}.$$ Derivado de $V_1$ con respecto a $y$ es igual a: $$\frac{dV_1}{dy}=-1\cdot\frac{C}{(1+y)^2}-2\cdot\frac{C}{(1+y)^3}-\dots-8 \cdot \frac{C}{(1+y)^9}-9 \cdot\frac{F+C}{(1+y)^{10}} .$$ Ahora, podemos aplicar algunos cálculos básicos aquí y afirmar que para $\Delta y$ pequeño "suficiente", tenemos que $$ V_1(y_0+\Delta y)\approx V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y. $$ Así que ahora, si consideramos la rentabilidad absoluta de nuestra posición (comprando este bono en el momento $t=0$ vendiéndolo a $t=1$ ) desde el momento en que $t=0$ perspectiva, bajo el supuesto de que el tiempo $t=1$ el rendimiento del bono hasta el vencimiento es $y_1=y_0+\Delta y$ Tenemos eso: $$\text{AbsReturn} \approx-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0}.$$ Es decir, compramos el bono por $V_0$ al final del primer año se nos paga el cupón cuyo valor descontado es $\frac{C}{1+y_0}$ y la aproximación del tiempo $t=1$ El valor del bono teniendo en cuenta el cambio del YTM es $V_1(y_0)+\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y$ y también lo descontamos al tiempo $t=0$ .

Ahora, podemos simplificar la expresión para AbsReturn ya que $-V_0+\frac{C}{1+y_0}+\frac{V_1(y_0)}{1+y_0}=0$ y obtenemos: $$ \text{AbsReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{1+y_0} ,$$ que supongo que también podemos dividir con nuestra inversión inicial de $V_0$ para obtener la tasa de rendimiento por lo que obtenemos: $$ \text{RateOfReturn}= \frac{\frac{d V_1}{dy}(y_0)\cdot \Delta y}{V_0(1+y_0)} ,$$ y aquí es donde me pierdo por completo. Parece que no puedo entender la conexión entre la expresión original y lo que acabo teniendo. ¿Qué significa el término $\text{Duration}_{10}$ en la fórmula original incluso significa - supongo que es la derivación del valor del bono con respecto al rendimiento - pero el valor del bono en qué momento: $t=0$ o $t=1$ ? ¿Hay alguna diferencia? Si es en el momento $t=0$ ¿cómo podemos utilizar la aproximación lineal de esa función para aproximar el cambio de valor de los bonos en el tiempo? $t=1$ ? Estoy completamente desconcertado con esto. ¿Estoy haciendo algo completamente equivocado en esta derivación? Agradezco cualquier idea al respecto. Gracias.

Answer 1

Volvamos a lo básico. En cuanto a su rendimiento $y$ el precio de un bono que vence en $n$ años es

$$ P_n(y) = \sum_{i=1}^n\frac{c}{(1+y)^i} + \frac{100}{(1+y)^n} $$

Un año después, el rendimiento es ahora $y^*$ y el bono vence ahora en $(n-1)$ años, y su precio es

$$ P_{n-1}(y^*) = \sum_{i=1}^{n-1}\frac{c}{(1+y^*)^i} + \frac{100}{(1+y^*)^{n-1}} $$

Podemos escribir $y^* = y + \Delta y$ y se expanden en potencias de $\Delta y$ para conseguir

$$ P_{n-1}(y^*) \approx P_{n-1}(y) + \frac{\partial P_{n-1}}{\partial y}\Delta y + O(\Delta y^2) $$

La duración de este bono se define como

$$ -D_{n-1}(y) = \frac{1}{P_{n-1}(y)}\frac{\partial P_{n-1}}{\partial y} $$

El rendimiento total del bono, incluyendo el flujo de caja de $c$ recibido, es por tanto

$$ R = \frac{c + P_{n-1}(y) - D_{n-1}(y)P_{n-1}(y)\Delta y - P_n(y)}{P_n(y)} + O(\Delta y^2) $$

Observando que

$$ c + P_{n-1}(y) = (1+y)P_{n}(y) $$

podemos escribir la rentabilidad total como

$$ R = y - \frac{P_{n-1}(y)}{P_n(y)}D_{n-1}(y) \Delta y + O(\Delta y)^2 $$

Obsérvese que la única aproximación que se ha hecho es la del precio del bono $P_{n-1}(y + \Delta y)$ como una función lineal de $\Delta y$ . Aparte de eso, hemos utilizado fórmulas exactas en todo momento. La expresión que se ve a menudo, y que usted citó en su pregunta,

$$ R = y - D_n(y) \Delta y + O(\Delta y^2) $$

es incorrecta cuando consideramos los rendimientos en períodos de tiempo finitos - sólo es válida para un instantánea cambio en los rendimientos. En particular, como ha descubierto, oscurece la elección de la duración que debe utilizarse: la respuesta correcta no es la duración $D_n(y)$ ni la duración de la delantera $D_{n-1}(y)$ sino la duración a plazo ajustada por la relación de los precios de los bonos suponiendo un rendimiento invariable.

Answer 2

No estoy de acuerdo con su expresión para AbsReturn. Contiene dos términos que han sido divididos por (1+y0). ¿Por qué se han descontado? El AbsReturn es simplemente valor(t=1) - valor(t=0) sin descuento. Creo que esta corrección explica tu dilema.