Función de utilidad de Stone-Geary, derivación de la demanda de Marshalliano

Question

Estoy leyendo un artículo sobre cambio estructural. Tiene tres sectores y presenta una función de utilidad no homotética, es decir, una CES con algunos umbrales para el consumo de los tres bienes. El UMP es el siguiente: $$ \max_{C_k; k=1,2,3} \left(\sum_{k}\omega^{\frac{1}{\epsilon}}_k\left(C_k-\bar{C}_k\right)^{\frac{\epsilon-1}{\epsilon}}\right)^\frac{\epsilon}{\epsilon-1} $$ Sujeto a la restricción presupuestaria $$ \sum_{K}\left(P_k C_k\right)=W $$ con $\omega_k$ sumando un total de 1. Lo que encuentro en línea es principalmente una derivación del caso de utilidad logarítmica, que no es muy adecuado para mi caso. Además, en el artículo los autores utilizan un índice de precios que es muy similar al del caso de Dixit-Stiglitz.

Actualmente estoy atascado en el nivel del FOC, y me pregunto cuáles son los pasos para derivar una función de demanda adecuada a partir de estas premisas. ¿Alguien puede mostrarme cómo encontrar esta función de demanda?

Answer 1

Si entiendo correctamente tu pregunta, puedes tomar el logaritmo de la función de utilidad original para simplificar los cálculos. La demanda derivada será la misma que la derivada de la función de utilidad original. Esto se debe a que la función logaritmo es una función monótona, y las preferencias se conservan bajo transformaciones monótonas de la utilidad. Por lo tanto, el caso de "utilidad-logaritmo" que encuentras en línea es exactamente con lo que quieres trabajar ya que simplificaría bastante las cosas.