Cobertura de la varianza mediante la opción vainilla (cartera de vega constante contra el activo subyacente)

Question

Un libro decía hedging variance swaps $$I= \sqrt{\dfrac{1}{t}\int^t_0\sigma^2(S,t)}d t$$ por vanilla option valor de la palabra $V(S,E;\sigma)$ ( Black-Scholes fomula) donde $S$ es underlying asset , $E$ es el strike price . Luego construyó un portfolio con valor $$P=\int^{\infty}_0f(E)V(S,E;\sigma)d E$$ entonces calcula el vega de la cartera: $\textrm{Vega}_P= \dfrac{\partial P}{\partial\sigma},$ entonces deja que $$\dfrac{\partial \textrm{Vega}_P }{\partial S}=0$$ obtener $f(E) = \dfrac{k}{E^2}.$

Su conclusión es variance swaps can be hedged with vanilla option, using the 'one over strike squared' rule. No puedo entenderlo:

1.¿Qué significa la representación de $P$ (por qué tomar la integral) es decir, cómo implementamos esta cartera por opción vainilla, mantener $F(E)$ ¿compartir?

2.Por qué necesitamos una vega constante contra $S$ es decir, ¿cómo cubrirse?

Answer 1

1. Se utiliza una integral porque la cartera contiene un infinito número de instrumentos. Más concretamente, la idea es mantener una tira continua de $f(E)$ unidades de opciones europeas vainilla emitidas a $E$ para cada $E \in [0,\infty[$ . Por supuesto, esto sigue siendo un concepto teórico: para construir una cartera similar en la práctica, hay que considerar una partición del dominio del strike truncado (por tanto, un número finito de opciones): $$ P = \sum_{i=1}^N f(E_i) V(S,E_i;\sigma) $$

2. Necesitas una Vega constante, no nula, contra $S$ porque se desea un producto sensible a la volatilidad e independiente de la trayectoria que seguirá el activo, es decir, una apuesta de volatilidad pura.

Echa un vistazo a esta conocida baraja de JP Morgan aquí . Puede ayudarle a entender mejor las implicaciones prácticas.