Covarianza de dos movimientos brownianos

Question

Durante la revisión, me encontré con la siguiente pregunta en un examen pasado:

Supongamos que $(B_t, t\geq0)$ es un movimiento browniano estándar. Calcule para $0<s<t$ la covarianza $$cov(tB_{3t}-B_{2t}+5, B_s-1).$$

Ahora, las respuestas simplemente indican que la solución es $ts-s$ . Sin embargo, las únicas notas que nos han dado son que: $$cov(B_t,B_s) = min\{t,s\},$$ para lo cual la prueba implica tomar expectativas iteradas. ¿Aplico el mismo método para resolver esto, o hay algún método mejor / más intuitivo para encontrar las covarianzas entre transformaciones de un movimiento browniano estándar?

Answer 1

Desde $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX EY$ tenemos

$$\begin{align} \text{Cov}(tB_{3t} - B_{2t} + 5, B_s - 1) &= E[tB_{3t}B_s - tB_{3t} - B_{2t}B_s + B_{2t} + 5B_s - 5] - (5)(-1) \\ &= tE[B_{3t}B_s] - E[B_{2t}B_s] \\ &= ts - s \end{align}$$ donde la primera igualdad es simplemente mutliplicar el producto, la segunda igualdad viene de descartar los términos de expectativa cero, y la tercera igualdad viene de la relación: $$\begin{equation} \text{Cov}(B_s, B_t) = \text{min}\{s, t\} \end{equation}$$ que has escrito correctamente.