¿Es posible acercarse a encontrar la prima de riesgo de este derivado utilizando el Lemma de Ito?

Question

Entiendo la solución que pretende el autor para el problema de abajo, pero pensé en ver si podía resolverlo usando los primeros principios y el Lemma de Ito en su lugar para practicar.

Dejemos que $V(S(t), t) = e^{rt}\ln{[S(t)]}$ . Entonces

\begin{align*}V_S &= \frac{e^{rt}}{S(t)},\\ V_{SS} &= \frac{-e^{rt}}{[S(t)]^2} \text{, and}\\ V_t &= re^{rt}\ln[S(t)].\end{align*}

Asumiendo el marco de Black-Scholes, $dS(t) = (\alpha - \delta)S(t) dt + \sigma S(t) dZ(t)$ . Por el Lemma de Ito,

\begin{align*}dV &= (\alpha - \delta)e^{rt} dt +e^{rt}\sigma dZ(t) - \frac{1}{2}e^{rt}\sigma^2 dt + re^{rt}\ln[S(t)]dt\\ &=[(\alpha - \delta)e^{rt} - 0.5e^{rt}\sigma^2 + re^{rt}\ln[S(t)]dt + e^{rt}\sigma dZ(t).\end{align*}

Parece que sin saber nada de $\delta$ o $\sigma$ No tenemos dónde ir. Entonces, ¿no hay una forma de resolver este problema desde los primeros principios sin saber que como los ratios de Sharpe del activo y del derivado están perfectamente correlacionados (positivamente), son iguales? Es decir,

$$\frac{\gamma_V - r}{\sigma_V} = \frac{\gamma - r}{\Omega_V\sigma} = \frac{\alpha - r}{\sigma},$$

donde $\gamma_V$ es el rendimiento compuesto continuo del derivado y $\Omega_V$ es la elasticidad de la derivada.

Answer 1

Supongamos que bajo la medida del mundo real $$ dS_t/S_t = (\alpha-\delta) dt + \sigma dZ_t^\Bbb{P} \tag{1} $$ En el marco de la EMM $\Bbb{Q}$ entonces hay que tener (teorema fundamental de la fijación de precios de los activos: en ausencia de arbitraje el valor descontado de cualquier cartera autofinanciada debe ser una martingala): $$ dS_t/S_t = (r-\delta) dt + \sigma dZ_t^\Bbb{Q} \tag{2} $$ Examinar $(1)$ y $(2)$ el exceso de rendimiento (instantáneo) por unidad de riesgo de volatilidad es, por lo tanto: $$ \pi_S = \frac{\alpha-\delta}{\sigma} - \frac{r-\delta}{\sigma} := \frac{\alpha-r}{\sigma} $$

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Supongamos ahora que $V(t,S_t) = e^{rt} \ln(S_t)$ . Como has observado, aplicando el lema de Itô se obtiene: $$ dV_t = e^{rt}\left[ r\ln(S_t) dt + \frac{dS_t}{S_t} - \frac{1}{2} \sigma^2 dt \right] \tag{3} $$ Escribir $dV_t$ bajo medidas del mundo real y neutrales al riesgo, respectivamente, enchufando $(1)$ y $(2)$ entonces da: $$ dV_t = e^{rt}\left[ (\alpha-\delta) + r\ln(S_t) - \frac{1}{2} \sigma^2 \right] dt + e^{rt} \sigma dZ_t^\Bbb{P} \tag{4} $$ $$ dV_t = e^{rt}\left[ (r-\delta) + r\ln(S_t) - \frac{1}{2} \sigma^2 \right] dt + e^{rt} \sigma dZ_t^\Bbb{Q} \tag{5} $$ El exceso de rendimiento (instantáneo) por unidad de riesgo de volatilidad es ahora: $$ \pi_V = \frac{e^{rt}\left((\alpha-\delta) + r\ln(S_t) - \frac{1}{2} \sigma^2 \right)}{e^{rt}\sigma} - \frac{e^{rt}\left( (r-\delta) + r\ln(S_t) - \frac{1}{2} \sigma^2 \right)}{e^{rt}\sigma} := \frac{\alpha-r}{\sigma} = \pi_S $$ Así que ya ves que vuelves a caer en el resultado de que los ratios de Sharpe son los mismos sin ningún conocimiento previo.