Análisis dimensional de la función qdf/cuantil correspondiente a la pdf/CDF de la distribución por tamaños de la renta

Question

Anteriormente he publicado una pregunta muy similar en Stackoverflow, pero basándome en las respuestas allí he decidido que el verdadero meollo de mi pregunta es económico. Voy a hacer una larga introducción, principalmente para distinguir lo que sé (introducción) de lo que estoy preguntando (últimos 3 párrafos, salta a ella si quieres).

Supongamos que tengo un pdf f(x) o un CDF F(x) que representa la distribución del tamaño de los ingresos. La renta es un flujo de dinero (dólares o alguna unidad monetaria), por alguna unidad de tiempo, a determinados individuos. Por lo tanto, creo que la unidad de medida adecuada es el dólar por persona-año.

Para que la probabilidad salga en unidades adimensionales, f(x) debe medirse en personas-año por dólar. Al integrar esto sobre x también se obtiene una parte adimensional para la FCD porque las unidades de una integral son el producto de las unidades del integrando y = f(x) , aquí medido en personas-año/dólar, y del diferencial dx , aquí medido en dólares/persona-año.

Integración de xf(x) por lo tanto, pone las unidades en el ingreso medio en $/persona-año; esto parece razonable.

De ahí he sacado conclusiones sobre las unidades y la interpretación de la función de densidad cuantílica q(y) Función cuantílica Q(y) y la integral de yq(y)dy (es decir, el análogo de la función inversa de la función de momento parcial de orden 1) que si es correcto me sería muy útil, pero en el que tengo una confianza limitada. Agradecería que alguien confirmara o desmintiera estas conclusiones, quizás en el contexto de alguna discusión/explicación de la interpretación del análisis dimensional en el contexto de las funciones de distribución.

Creo que las unidades del eje y y de q(y) son necesariamente las mismas que las del análisis anterior de pdf/CDF, es decir, los valores de y se siguen midiendo en personas-año por dólar y x = q(y) se sigue midiendo en $/persona-año. Esto implica que las integrales de q(y) sobre algún intervalo en general, y Q(y) (que es igual a la integral de q(y) de 0 a y) en particular, se miden en acciones sin unidad. Sin embargo, (interpretación incierta #1) F(x) es en porcentajes sin unidad de la renta total, mientras que Q(y) es en porcentajes sin unidad de la población de un año.

Finalmente, (interpretación incierta #2) esto tendría la integral de yq(y)dy en unidades de años-persona por dólar. Pero tengo problemas para interpretar esto. La cantidad x correspondiente es la media (o para una x acotada, la media parcial) de los ingresos por persona-año. Así que esto sería la media de personas-año ¿para qué? ¿para un solo dólar? ¿para la media de los ingresos?

Consideremos la versión truncada de esta función, donde la integral de yq(y)dy de cero a q* se divide por F(q*) . La correspondiente función truncada de x arroja la media de los que tienen ingresos de x* o menos, y $/persona-año parecen unidades razonables para un ingreso medio. Pero quiero que la versión y salga en número de personas, o número de personas-año, correspondiente a la proporción de personas-año en el mismo intervalo, y el "por dólar" en el denominador, que necesito para que la FCD(x) y Q(y) no tengan unidades, no tiene una interpretación que me resulte obvia.

Answer 1

Su variable aleatoria es $X$ = "Renta anual per cápita medida en dólares". Así que $X$ es una función de valor real. Su dominio suele dejarse sin especificar, mientras que su gama se mide en "dólares por persona-año", como lo escribe el OP.

Las funciones de densidad y de distribución (pdf/cdf) de $X$ digamos $f_X,F_X$ tienen como su dominio el gama de $X$ . Así que el dominio de $f_X,F_X$ es un conjunto que lleva la unidad de medida "dólares por persona-año".

Siendo estrictos en el análisis dimensional, efectivamente podríamos decir que el densidad debe medirse entonces en "años-persona por dólar" (independientemente de si esto es significativo o no).

Así que el valor esperado que es la integral $\int_0^{\infty} x f_X(x) dx$ sigue teniendo "dólares" como unidad de medida (acabo de asumir $X$ es no negativo), aplicando la regla que dice el PO (una unidad es el recíproco de la otra, y nos queda la tercera que es de nuevo "dólares por persona-año").

Además la integral que es la cdf $F_x(x) = \int_0^x f_X(s) ds$ tiene un rango que sale "adimensional", ya que la probabilidad es una medida relativa.

( Digresión : Nótese que, por definición, la función de distribución de una variable aleatoria mide la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un umbral, $F_X(x): = Prob(X \leq x)$ . Se requieren suposiciones adicionales para "tranlsar" esta probabilidad como representación también de "cuotas de ingresos", es decir, supongo que "porcentaje de población con ingresos per cápita inferiores o iguales a $x$ ")

En cuanto a la Función cuantil se define como la inversa de la función de distribución (inversa generalizada para cubrir todos los casos, pero vamos a simplificar). Al ser la inversa, utiliza como dominio el rango de $F_X(x)$ por lo que el dominio de $Q(p)$ lleva "probabilidad" como unidad de medida, mientras que su rango es el dominio de $F_X$ . Y el dominio de $F_x$ es el rango de $X$ La función Quantile tiene el mismo rango que $X$ por lo que también se mide en "dólares por persona-año" (es decir, su rango lleva la unidad de medida "dólares por persona-año").

se deduce que la derivada de $Q(p)$ ", $q(p) = dQ(p)/dp$ tiene las mismas unidades de medida que $Q(p)$ mientras que la integral $\int_0^1 pq(p)dp$ se mide también en "dólares por persona-año".