¿Se permiten también las rentas negativas (quizás incluso los precios negativos)? A menos que lo estén, las líneas no horizontales o no verticales son imposibles como curvas de Engel porque tienen que intersecar el cuadrante negativo del sistema de coordenadas. Volveré a tratar este tema más adelante.
Sin restricciones adicionales (quizás muchas restricciones adicionales) en las relaciones de preferencia, para cualquier línea inclinada no negativa puedo fabricar una función de utilidad tal que la línea será su curva de Engel.
Que la línea $L$ consiste en los puntos $((x,y)\in\mathbb{R}^2|c = a \cdot x + b \cdot y)$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ . Denotaré este conjunto de puntos por $L$ la línea. Se supone que estamos hablando de una línea real, por lo que $a,b$ no son simultáneamente iguales a $0$ .
Dejemos que $$ U(x,y) = \left\{\begin{array}{lc} \arctan (b \cdot x + a \cdot y) & \text{ if } (x,y) \in L \\ -\pi & \text{ if } (x,y) \notin L. \end{array} \right. $$
Reclamación La función de utilidad siempre será maximizada por un punto en $L$ .
Esto es fácil, porque $\arctan$ mapas a $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ por lo que sus puntos siempre producen mayor utilidad que otros puntos. Especificamos que la pendiente de $L$ es no negativo, por lo que para cualquier par de precios positivo la línea presupuestaria lo cruzará, permitiéndonos elegir un punto en $L$ .
Ahora volvemos a la cuestión de si los ingresos $I$ pueden ser negativos. Si pueden serlo, entonces cada punto $L$ será una solución del problema de maximización de la utilidad de los consumidores para un determinado $I,p_x,p_y$ . La razón de esto es que $b \cdot x + a \cdot y$ crea una ordenación de los puntos de $L$ . (Líneas perpendiculares a $L$ tienen una pendiente de $-b/a$ son las curvas de nivel de $b \cdot x + a \cdot y$ .) Seleccione un punto $(x_0,y_0) \in L$ . Al establecer $I$ a $$ I = p_x \cdot x_0 + p_y \cdot y_0, $$ el consumidor apenas tiene dinero para comprar esta cesta. Si $L$ tiene una pendiente no negativa y los precios son positivos, entonces no hay puntos con mayor utilidad.
La construcción que he dado no es única. También se podría utilizar la función de utilidad continua $$ \hat{U}(x,y) = \min\left(a \cdot \left(x - \frac{c}{a} \right); - b \cdot y\right) $$ para conseguir el mismo resultado. (Si $a = 0$ se puede utilizar $$ \hat{U}(x,y) = \min\left(a \cdot x; - b \cdot \left(y - \frac{c}{b} \right)\right) $$ en su lugar).
