Nivel de eficiencia de Pareto del bien público

Question

Como parte del autoestudio para un examen de ingreso, estoy resolviendo la siguiente pregunta.

Hay dos consumidores en la economía y dos bienes, uno privado y otro público. Las utilidades de los consumidores vienen dadas por:

$$u_1(x_1,y) = x_1+6\sqrt y$$

$$u_2(x_2,y = x_2 + 10\sqrt y$$

donde $x_i$ es la cantidad del bien privado y $y$ es la cantidad de bien público consumido. Dotaciones iniciales de los bienes privados:

$$\omega_1 = 40, \omega_2 = 60$$ .

Una unidad de bien privado puede convertirse uno por uno en un bien público.

Mi intento:

El nivel de eficiencia de Pareto del bien público viene determinado por la ecuación

$$|MRS_1| + |MRS_2| = MC(G) \quad (1)$$

donde $MRS_1 = \frac{MU_G}{MU_{x_1}}$ , $MRS_2 = \frac{MU_G}{MU_{x_2}}$ y $MC(G)$ es el coste marginal de proporcionar el bien público.

Resolver $(1)$ con las funciones de utilidad dadas que obtengo:

$$\frac{3}{\sqrt y} + \frac{5}{\sqrt y} = 1$$ $$\implies y = 64$$

Por lo tanto, el nivel de eficiencia de Pareto del bien público es $y=64$ .

La pregunta pide que se seleccione el paquete de Pareto Ineficiente $(x_1,x_2,y)$ entre los siguientes:

A. $(50,0,50)$

B. $(90,0,10)$

C. $(0,80,20)$

D. $(16,20,64)$

Creo que todas A, B y C son Pareto Ineficientes.

La respuesta dada es C.

Gracias por leer mi pregunta.

Answer 1

El resultado de maximización del bienestar social que has calculado (igualando la suma de los beneficios marginales al coste marginal) es simplemente uno de los resultados eficientes de Pareto. Aunque la maximización de las utilidades conjuntas es una condición suficiente para la eficiencia de Pareto, no es una condición necesaria. La eficiencia de Pareto se define por la falta de mejora de Pareto, es decir, una reasignación de recursos que haga que al menos alguien esté mejor sin que ningún otro esté peor.

La opción C no es Pareto eficiente porque existe una mejora de Pareto. En $(0,80,20)$ , \begin{equation} u_1(0,20)=0+6\sqrt{20}\approx 26.83 \qquad u_2(80,20)=80+10\sqrt{20}\approx124.72. \end{equation} Obsérvese que en este paquete, la UM del consumidor 2 para el bien $y$ es $5/\sqrt{20}\approx1.11$ y su MU para $x$ es $1$ . Por lo tanto, el aumento de una unidad del bien $y$ a costa de una unidad menos de $x$ es la mejora de la utilidad para el consumidor 2. Al mismo tiempo, un extra $y$ beneficia también al consumidor 1. Así que podemos comprobar fácilmente que $(0,79,21)$ es una mejora de Pareto sobre $(0,80,20)$ : \begin{equation} u_1(0,21)=0+6\sqrt{21}\approx27.495 \qquad u_2(79,21)=79+10\sqrt{21}\approx124.83 \end{equation} donde ambos consumidores experimentan mayores utilidades.

De forma similar, debería poder comprobar que no existen mejoras de Pareto para las opciones A, B y D.