¿Cómo podemos aplicar el teorema de Girsanov a un modelo de volatilidad estocástica? En el modelo de Heston la dinámica viene dada por \begin{align*} dS_t &= \mu S_t dt + \sqrt{v_t}S_t d\widehat{W}^\mathbb{P}_{1,t}, \\ dv_t &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d \widehat{W}_{1,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}_{2,t} \right) \end{align*} donde $\widehat{W}^\mathbb{P}_{1,t}$ y $\widehat{W}_{2,t}^\mathbb{P}$ son los movimientos brownianos estándar independientes, y $\rho \in (-1,1)$ el coeficiente de correlación. Utilizando el teorema de Girsanov tendríamos para el proceso de acciones $$\widehat{W}^\mathbb{Q}_{1,t} = \left(\widehat{W}^\mathbb{P}_{1,t} + \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}}t\right).$$ ¿Podemos aplicar también el teorema de Girsanov para la SDE de varianza? Más concretamente, ¿qué ocurre con $d\widehat{W}^\mathbb{P}_{2,t}$ . En algunos libros de texto escriben $d\widehat{W}^\mathbb{Q}_{2,t} = \left(d\widehat{W}^\mathbb{P}_{2,t} + \lambda dt\right). $ Pero entonces tenemos \begin{align*} dv_t &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d \widehat{W}_{1,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}_{2,t} \right) \\ &= \kappa ( \theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho \left( d \widehat{W}_{1,t}^{\mathbb{Q}_\lambda} - \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}} dt \right) +\sqrt{1- \rho^2} \left( d \widehat{W}^\mathbb{Q}_{2,t} - \lambda d t) \right) \right) \\ &= \kappa \left( \theta - \frac{\rho}{\kappa} \sigma (\mu - r) - v_t - \frac{\sqrt{1- \rho^2 } }{\kappa} \lambda \sigma \sqrt{v_t} \right) dt + \sigma \sqrt{v_t} \left( \rho d\widehat{W}^\mathbb{Q}_{1,t} + \sqrt{1- \rho^2} d \widehat{W}^\mathbb{Q}_{2,t} \right) \end{align*} Es extraño que nunca lo haya visto así. ¿Alguien puede darme una pista?
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Consideremos el modelo de Heston (1993) bajo el medida del mundo real ( $\mathbb{P}$ ) \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu^\mathbb{P} S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P}, \\ \mathrm{d}v_t&=\kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P}, \end{align*} donde $\mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P}\mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P}=\rho^\mathbb{P}\mathrm{d}t$ .
Defino el precios de mercado del riesgo (o ``núcleo de Girsanov'') para ser \begin{align} \varphi_S &= \frac{(\mu^\mathbb{P}-r)S_t}{\sqrt{v_t}S_t}=\frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_t}}, \\ \varphi_v &= \frac{\lambda v_t}{\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}}=\frac{\lambda}{\sigma^\mathbb{P}}\sqrt{v_t}, \end{align} donde $\lambda$ es un parámetro.
El Teorema de Girsanov bidimensional da lugar a \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t}= \exp\bigg(&-\int_0^t \frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_s}}\mathrm{d}B_{S,s}^\mathbb{P} -\int_0^t \frac{\lambda\sqrt{v_s}}{\sigma^\mathbb{P}}\mathrm{d}B_{v,s}^\mathbb{P} \\ &+ \int_0^t \frac{ (\mu^\mathbb{P}-r)\lambda\rho^\mathbb{P}}{\sigma^\mathbb{P}}\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\int_0^t \left(\frac{(\mu^\mathbb{P}-r)^2}{v_s}+\frac{\lambda^2v_s}{(\sigma^\mathbb{P})^2} \right)\mathrm{d}s\bigg), \end{align*} tal que \begin{align*} \mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{S,t}^\mathbb{P} + \varphi_S\mathrm{d}t, \\ \mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{v,t}^\mathbb{P} + \varphi_v\mathrm{d}t, \end{align*} son incrementos de movimientos brownianos estándar bajo $\mathbb{Q}$ . Tenga en cuenta que $\mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q}=\rho^\mathbb{P}\mathrm{d}t$ . Así, al cambiar la medida, el coeficiente de correlación sigue siendo el mismo, $\rho^\mathbb{Q}=\rho^\mathbb{P}$ .
El nueva dinámica de riesgo neutro ( $\mathbb{Q}$ ) son entonces \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=r S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}W_{S,t}^\mathbb{Q}, \\ \mathrm{d}v_t&= \kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} -\lambda v_t\mathrm{d}t \\ &= \left(\kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}-(\kappa^\mathbb{P}+\lambda)v_t\right)\mathrm{d}t +\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q} \\ &= \kappa^\mathbb{Q} \left(\bar{v}^\mathbb{Q}-v_t\right)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{Q}\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{v,t}^\mathbb{Q}, \end{align*} que es de nuevo una difusión de root cuadrada, donde el vol de vol no ha cambiado, $\sigma^\mathbb{Q}=\sigma^\mathbb{P}$ . Sin embargo, como en Heston (1993, ecuación (27)), la velocidad de reversión media y la media a largo plazo son ahora \begin{align} \kappa^\mathbb{Q} &= \kappa^\mathbb{P}+\lambda, \\ \bar{v}^\mathbb{Q} &= \frac{\kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}}{\kappa^\mathbb{P}+\lambda}. \end{align}
Es interesante, $\kappa^\mathbb{P}\bar{v}^\mathbb{P}=\kappa^\mathbb{Q}\bar{v}^\mathbb{Q}$ .
¿Qué está pasando? económicamente ?
- La diferencia entre el $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ La deriva de $S_t$ es $(\mu^\mathbb{P}-r)S_t$ . El término $\mu^\mathbb{P}-r$ es el prima de riesgo (= la rentabilidad que exige un agente averso al riesgo por mantener una exposición unitaria a las perturbaciones que impulsan el precio de las acciones).
- La diferencia entre el $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ La deriva de $v_t$ es $\lambda v_t$ . Llamamos $\lambda$ el prima de riesgo de varianza (= la rentabilidad que exige un agente adverso al riesgo para mantener una exposición unitaria a las innovaciones de la varianza).
- Los precios de mercado del riesgo son Ratios de Sharpe . Dividen la prima de riesgo por las correspondientes volatilidades instantáneas (el $\text{d}B$ -parte de las SDE).
- En equilibrio , $\lambda<0$ porque a los agentes racionales no les gusta la alta volatilidad (deterioro del conjunto de oportunidades de inversión en un sentido ICAPM, véase Campbell et al. (2018, JFE) ). La evidencia empírica de esto viene dada por Coval y Shumway (2001, JF) y Carr y Wu (2009, RFS) .
- Si $\lambda<0$ entonces $\bar{v}^\mathbb{Q}>\bar{v}^\mathbb{P}$ y $\kappa^\mathbb{Q}<\kappa^\mathbb{P}$ es decir, la varianza tiene niveles medios más altos pero una tasa de reversión media más lenta. Esto significa que la La distribución neutra del riesgo infla el proceso de la varianza . Esto es coherente con lo que debería hacer el factor de descuento estocástico, véase esta respuesta . El factor de descuento estocástico , $M_t$ es simplemente $M_t=e^{-rt}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t}$ .
- Mientras que la derivada de Radon Nikodym parece depender de la varianza integrada, yo consideraría que el SDF sigue siendo Markovian . El precio de las acciones también es markoviano y si escribes cómo $S_t$ parece, también parece incluir la varianza integrada. La función característica $\ln(S_t)$ revela, sin embargo, que las propiedades probabilísticas sólo dependen de los valores actuales de las variables de estado, $S_t$ y $v_t$ .
- Porque el mercado es incompleto existen infinitas medidas neutrales al riesgo. He elegido libremente definir los precios de mercado del riesgo de una forma particular (tal que $S_t$ y $v_t$ tienen la misma distribución bajo ambas medidas, sólo diferentes parámetros). Son posibles otras parametrizaciones basadas en la minimización del error de una cobertura Delta en el modelo Heston.
Más detalles técnicos en Teorema de Girsanov . Supongamos que quieres trabajar con movimientos brownianos independientes. Establezca \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu^\mathbb{P} S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}, \\ \mathrm{d}v_t&=\kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P}\right), \end{align*} donde $\mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P}\mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P}=0$ . Set, como siempre, $\varphi_1=\frac{\mu^\mathbb{P}-r}{\sqrt{v_t}}$ y, importantemente que el segundo precio de mercado del riesgo, $\varphi_2$ Por el momento, no se ha determinado (volveremos a hablar de ello al final). Entonces, el teorema de Girsanov se refiere sólo a los movimientos brownianos independientes y tenemos \begin{align*} \mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{1,t}^\mathbb{P} + \varphi_1\mathrm{d}t, \\ \mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q} &= \mathrm{d}B_{2,t}^\mathbb{P} + \varphi_2\mathrm{d}t. \end{align*} Así, por construcción, obtenemos la dinámica habitual de los precios de las acciones neutrales al riesgo \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=r S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q}. \end{align*} Sin embargo, el proceso de variación se convierte en \begin{align*} \mathrm{d}v_t&= \kappa^\mathbb{P} (\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)\mathrm{d}t+\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q}\right)\\ &\;\;\;\;\;\;\underbrace{-\sigma^\mathbb{P}\rho(\mu^\mathbb{P}-r)\text{d}t-\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\sqrt{1-\rho^2}\varphi_2\text{d}t}_{=\lambda(t,S_t,v_t)\text{d}t} \\ &= \left(\kappa^\mathbb{P}(\bar{v}^\mathbb{P}-v_t)+\lambda(t,S_t,v_t)\right)\mathrm{d}t +\sigma^\mathbb{P}\sqrt{v_t}\left(\rho\mathrm{d}W_{1,t}^\mathbb{Q}+\sqrt{1-\rho^2}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathbb{Q}\right). \end{align*} Si ahora se utiliza la misma parametrización para la prima de riesgo de la varianza que antes, $\lambda(t,S_t,v_t)=\lambda v_t$ se recuperan los mismos parámetros de riesgo neutro que antes. Nótese que no hemos determinado $\varphi_2$ directamente. Sólo elegimos implícitamente un precio de riesgo para el movimiento browniano ortogonal eligiendo $\lambda(t,S_t,v_t)$ . De nuevo, la razón principal de esta parametrización es mantener la distribución para $v_t$ bajo ambas medidas es la misma (aunque Heston proporciona alguna intuición basada en el CCAPM).
No creo que se pueda aplicar el teorema de Girsanov de esta manera, señalando que no entiendo su (breve) argumento en los comentarios. Así es como yo procedería, lo que tiene sentido matemático, pero la interpretación económica es entonces un poco extraña.
Escribamos las SDE's de forma un poco diferente, observando que sigue conservando la misma estructura de correlación \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t} &= \mu dt + \sqrt{v_t} d \left( \rho d \widehat{W}_{2,t}^\mathbb{P} +\sqrt{1- \rho^2} d\widehat{W}^\mathbb{P}_{1,t} \right) \\ dv_t &= \kappa (\theta - v_t )dt + \sigma \sqrt{v_t} d\widehat{W}^\mathbb{P}_2\\ \end{align*} donde $\widehat{W}^\mathbb{P}_1$ y $\widehat{W}^\mathbb{P}_2$ son los movimientos brownianos estándar independientes, y $\rho \in (−1,1)$ el coeficiente de correlación. Suponiendo el mismo precio de mercado del riesgo (de volatilidad) que @Kevin o Heston y denotándolo por $\lambda_2$ tenemos \begin{align*} \lambda_2= \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma} \end{align*} Entonces, las relaciones entre los movimientos brownianos estándar bajo la medida de riesgo neutral y los movimientos brownianos estándar bajo la medida física vienen dadas por \begin{align*} d \widehat{W}_1^{\mathbb{Q}_\lambda} = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} \left( \frac{\mu - r}{\sqrt{v}} - \frac{ \lambda \rho \sqrt{v_t}}{\sigma} \right)dt + d \widehat{W}^\mathbb{P}_1 \end{align*} y \begin{align*} d\widehat{W}^{ \mathbb{Q}_\lambda}_2 = \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma}dt + d \widehat{W}_2^\mathbb{P}. \end{align*} El precio de mercado de dos dimensiones del proceso de riesgo $(\lambda_1, \lambda_2)$ viene dada por \begin{align*} \lambda_1 =\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} \left( \frac{\mu - r}{\sqrt{v}} - \frac{ \lambda \rho \sqrt{v_t}}{\sigma} \right) \end{align*} y \begin{align*} \lambda_2= \frac{\lambda \sqrt{v_t} }{\sigma} \end{align*} y no \begin{align*} \lambda_1 = \frac{\mu - r}{\sqrt{v_t}} \end{align*} De hecho, en el modelo de Black y Scholes, el precio de mercado del riesgo viene dado por $(\mu^{BS}-r)/\sigma^{BS}$ pero aquí creo que hay que tener en cuenta los dos brownianos estándar.
En particular, entonces el tenemos \begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d \mathbb{P}} \bigg\vert_{\mathcal{F}_T}= \exp \bigg( - \bigg( \int^T_0 \lambda_1(u) d \widehat{W}_{1,t}^\mathbb{P}(u) + \int^T_0 \lambda_2(u) d \widehat{W}_{2,t}^\mathbb{P}(u) \bigg) - \frac{1}{2} \bigg( \int^T_0 \lambda_1^2(u) du + \int^T_0 \lambda_2^2(u)du \bigg) \bigg) \end{align*}
