Pregunta sobre la conversión de la ecuación diferencial de Black Scholes a la ecuación del calor

Question

Estoy leyendo un libro sobre la conversión de la ecuación de Black Scholes a la ecuación del calor y he resaltado en negrita las dudas que tengo, y agradezco mucho tus consejos al respecto.

Dejemos que $S$ , $T$ , $V$ denotan el precio del activo subyacente, el vencimiento y el precio de la opción por separado. Este es el proceso de conversión:

Dejemos que $y=lnS$ desde $(S=e^y)$ y $\tau_t=T-t$ entonces $\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{\partial V}{\partial \tau_t}$ , $\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial S}=\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial y}$ y $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}=\frac{\partial }{\partial S}(\frac{\partial V}{\partial S})=\frac{\partial }{\partial S}(\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial y})=-\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{1}{S}\frac{\partial }{\partial S}(\frac{\partial V}{\partial y})=-\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{1}{S^2}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}$ ,

esta es mi primera duda: por qué $\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial S}(\frac{\partial V}{\partial y})=\frac{1}{S^2}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}$ ¿tiene?

La ecuación de Black Scholes $\frac{\partial V}{\partial t} + rS \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV = 0$

puede convertirse en

$-\frac{\partial V}{\partial \tau_t} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2) \frac{\partial V}{\partial y} + \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}-rV = 0$

Dejemos que $u=e^{r\tau_t}V$ ,

la ecuación se convierte en

$-\frac{\partial u}{\partial \tau_t} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2) \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

Por último, dejemos que

$x=y+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau_t=lnS+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau_t$

y

$\tau=\tau_t$ entonces $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$

y

$\frac{\partial u}{\partial \tau_t}=\frac{\partial u}{\partial \tau}+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial u}{\partial x}$ ,

esta es mi segunda duda: por qué $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial u}{\partial \tau_t}=\frac{\partial u}{\partial \tau}+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\frac{\partial u}{\partial x}$ ¿se mantiene?

Answer 1

La primera parte de su pregunta:

• $\frac{\partial y}{\partial S} = \frac{\partial ln S}{\partial S} = \frac{1}{S}$

• $ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial V}{\partial S} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial y}{\partial S}\frac{\partial V}{\partial y})= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{ S}\frac{\partial V}{\partial y}) = \frac{-1}{S^2} \frac{\partial S}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y} + \frac{1}{S}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = \frac{-1}{S}\frac{\partial V}{\partial y} + \frac{1}{S}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} $

• $ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{\partial}{\partial S} (\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial S}) = \\ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial y} \frac{\partial y}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial^2 y}{\partial S^2} = \\ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial y} \frac{1}{S} - \frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y} = \\ \frac{-1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y} + \frac{1}{S^2}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} -\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y} = \\ \frac{-2}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y} + \frac{1}{S^2}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} $

La clave de la segunda parte es que $\frac{\partial x}{\partial y}$ es 1.