Probabilidad neutral al riesgo, rendimientos ajustados al riesgo y aversión al riesgo

Question

Cuando empleamos el Teorema Fundamental de la Valoración de Activos y la existencia de una medida de probabilidad equivalente, digamos $Q$ con respecto a la probabilidad histórica $P$ En el caso de que el riesgo sea mayor que el de los demás, a menudo decimos que la expectativa bajo esta probabilidad neutra de riesgo es el pago o la prima "ajustada al riesgo".

A menudo recurro a la explicación de que el "ajuste de riesgo" se produce, porque en el mundo real en el que vivimos, los comerciantes no son neutrales al riesgo, por lo que al asumir una economía libre de arbitraje y el teorema fundamental antes mencionado, estamos esencialmente haciendo uso de la existencia de la medida de probabilidad equivalente en la que la construcción sintética es únicamente posible (también asumiendo la completitud).

1. ¿Le importaría compartir una forma mejor y más intuitiva de explicar el "ajuste de riesgo" en este contexto?

2. En finanzas, a menudo utilizamos la rentabilidad "ajustada al riesgo" de una inversión, y algunos estudiantes sin formación matemática en finanzas suelen confundirse cuando se confunden estos términos. ¿Cómo relacionarías dos conceptos a nivel intuitivo?

Answer 1

Tendría todo el sentido del mundo cotizar el precio de un instrumento financiero descontando sus flujos de caja futuros en función de su propia aversión al riesgo ( $\Bbb{P}$ medida, factor de descuento estocástico).

Sin embargo, sería complicado que tú y yo nos pusiéramos de acuerdo en ese precio y así desarrollar un mercado líquido.

Dicho esto, si ambos somos racionales y estamos de acuerdo en la existencia de un supuesto "activo libre de riesgo" (+ completitud del mercado), entonces ambos estaríamos de acuerdo en qué precio cobrar correctamente (el precio de la estrategia de autofinanciación del instrumento). Básicamente, lo que hemos hecho aquí es eliminar nuestra aversión al riesgo haciendo un poco de "economía del ketchup" (fijación de precios relativos) bajo la fuerte suposición de que tal activo existe realmente.

Por supuesto, ahora hemos trasladado el debate a si este activo existe y estamos de acuerdo en cuál es. En el caso de las operaciones con garantía, está claro que es el PAI, pero ¿qué pasa con las operaciones sin garantía? Así que supongo que la cuestión es si queremos fijar el precio bajo $\Bbb{P}$ que es la verdadera medida pero "desconocida" para, o bajo una construcción matemática $\Bbb{Q}$ que se conoce, pero sólo existe si nos ponemos de acuerdo en algunos supuestos clave, en los que nuestra propia aversión al riesgo desaparece y podemos "hablar el mismo idioma".

Answer 2

Mis pensamientos:

• Medida de probabilidad neutra al riesgo ${Q}$ es una conveniente herramienta matemática que se utiliza principalmente para precios de los derivados

• El precio de un derivado es esencialmente el precio de la cartera de réplica. Por lo tanto, para fijar el precio de un derivado, se puede intentar construir una cartera que replique el pago del derivado al vencimiento y, a continuación, trabajar hacia atrás en el tiempo, para llegar al precio de la cartera de réplica al inicio: este es entonces el precio del derivado (el método habitual de cobertura delta)

• Con la medida de riesgo neutro $Q$ (si existe y es única), se puede evitar la engorrosa técnica anterior, y en su lugar, se puede simplemente tomar una expectativa $\mathbb{E}^{Q}$ del pago del derivado al vencimiento y descontarlo, para obtener el mismo precio del derivado: el hecho de que este precio sea idéntico al precio obtenido mediante la técnica de la cartera de réplica, demuestra que la medida de neutralidad del riesgo es una herramienta matemática que simplemente permite simplificar el cálculo del precio del derivado al no tener que calcular directamente la cartera de réplica en cada paso temporal

• Bajo la medida de riesgo neutral, uno no se preocupa por el distribución de los precios, uno sólo se preocupa por el expectativa : esto se debe a que la expectativa descontada bajo $Q$ da los precios, mientras que la distribución no tiene realmente un significado físico probabilístico (es decir, consideremos el modelo B&S frente al modelo Bachelier para una opción simple: bajo $Q$ , ambos dan el precio correcto de la opción en la expectativa pero las distribuciones son totalmente diferentes y, en cierto modo, irrelevantes).

Los datos históricos realizados pueden considerarse como una muestra que puede utilizarse para estimar algunas probabilidades del mundo real, es decir, distribuciones bajo $P$ . Algunos ejemplos:

• Las frecuencias históricas de impago de los bonos corporativos de EE.UU. son sistemáticamente inferiores al diferencial de crédito de estos bonos respecto a los bonos del Tesoro de EE.UU. A su vez, los diferenciales de crédito se ven impulsados por los precios a los que se negocian estos bonos: así, bajo $Q$ El mercado sobreestima el riesgo de crédito de estos bonos, pero una mejor manera de verlo es que el mercado en su conjunto es capaz de estimar las frecuencias de impago de estos bonos bajo $P$ y simplemente exige una prima para mantener estos bonos

• CDS: de nuevo, los precios de los CDS tienden a sobreestimar las frecuencias de impago en todas las calificaciones crediticias. Esto demuestra que el emisor de CDS exige una prima de riesgo para suscribir estos CDS

• Vols implícitos: existe una prueba de que cuando un vendedor de opciones realiza una cobertura delta de una opción, perderá dinero si el vol realizado es mayor que el vol implícito que cargó al inicio de la opción. Este es un argumento que explica por qué los vols implícitos contienen una prima de riesgo y por qué deberían superar constantemente los vols realizados del subyacente

Así que los ejemplos anteriores pretenden demostrar que bajo $Q$ El mercado tiende a cobrar una prima de riesgo, de modo que los participantes en el mercado son compensados por mantener instrumentos de riesgo.

Esto tiene sentido para mí: a un agente neutral al riesgo no le importaría tener una cartera de bonos basura o una de bonos con calificación AAA, siempre y cuando en la expectativa, estas carteras proporcionen el mismo rendimiento. Pero en el mundo real, el diferencial de crédito de los bonos basura no sólo sobreestima la frecuencia de impago (igual que el diferencial de crédito de los bonos AAA), sino que la sobreestimación es tan pronunciada que el rendimiento realizado de los bonos basura es mayor que el de los bonos AAA: de nuevo, esto se debe a que en el mundo real, la gente necesita un incentivo para tener bonos basura, de lo contrario se limitaría a tener bonos AAA.