En un documento titulado Invertir en la volatilidad publicado en 1998 por Emanuel Derman, Michael Kamal, Iraj Kani, John McClure, Cyrus Pirasteh y Joseph Z. Zou, encontré la siguiente afirmación (en la página 9) que intento aclarar: La cantidad $(1/2)\Gamma(\Delta S)^2$ es la ganancia de un movimiento instantáneo del índice. El principio clave de la valoración de las opciones es que no se puede obtener un almuerzo gratis utilizando las opciones. Por lo tanto, si el índice se mueve realmente con una volatilidad realizada idéntica a la volatilidad implícita $\Sigma$ a la que se compró la opción, la ganancia de los pequeños movimientos del índice debe anular la pérdida de valor de la opción debida al paso del tiempo. La figura 4c muestra que esta pérdida debida al "decaimiento del tiempo"; su magnitud en un instante $\Delta t$ viene dada por $(1/2)\Gamma(\Sigma^2S^2\Delta t)$ .
EDIT: La ganancia mencionada antes es la de una opción con cobertura delta.
¿Existe una relación exacta (o aproximada) que se pueda demostrar (preferiblemente lo más rigurosa posible) entre el decaimiento del tiempo (o theta) y la gamma (como se ha comentado anteriormente), en un sin modelo ¿en qué sentido?
He visto algunos argumentos heurísticos basados en árboles binomiales pero no parecen muy convincentes. Buscaba algo más general, por ejemplo un argumento en tiempo continuo utilizando el cálculo estocástico.
EDIT: Estoy interesado en encontrar una derivación matemáticamente rigurosa para las afirmaciones citadas anteriormente. En realidad, incluso una buena aproximación estaría bien, siempre que entienda sus limitaciones.
EDIT: Cualquier referencia sería muy bienvenida.
En vista de la respuesta de Soumirai, quiero reformular la pregunta de la siguiente manera: Sabiendo que $\Theta = \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \Gamma$ se mantiene en un modelo B-S sin tipos ni dividendos, ¿existe una fórmula análoga que se mantenga para modelos de volatilidad estocástica más generales (o incluso sin modelo)?
