Condiciones para el Equilibrio de Radner

Question

Esta es la definición del Equilibrio de Radner de la Teoría Microeconómica (Mas-Collel, Whinston y Green - Tercera Edición).

Estoy confundido acerca de dos condiciones:

$\sum_k q_k \cdot z_{ki} \le 0$ (en amarillo)

Los autores afirman que esta es una restricción presupuestaria. Me pregunto cómo la suma de las transacciones por el precio podría ser diferente de cero: si Adam vende una acción por 10 dólares a Ben, las posiciones de inversión para Adam y Ben serán, respectivamente, -10 y 10, sumando $-10+10=0$

$\sum_i z^*_{ki} \le 0$ (en morado)

Esto se propone como una condición de viabilidad. ¿Por qué?

Answer 1

Condición en amarillo: Se supone que cada consumidor $i$ tiene una dotación inicial de riqueza de $0$.

Condición en morado: Para cada activo $k$, la demanda agregada $\leq$ la oferta agregada, la cual es cero por suposición.

En términos prácticos, el activo $z_k$ que se está negociando en $t = 0$ son reclamos a $t = 1$ sobre el commodity $k$. Es un contrato derivado. En este caso particular, es un contrato de futuros, es decir, el derecho y la obligación de $z_k$ unidades del commodity $k$.

Suponga que los rendimientos de los activos exógenos son $r_{sk} = 1$ para todos los $k$ y $s$.

Si vende un contrato de futuros por $z = 30$ barriles de petróleo West Texas Intermediate (toneladas de trigo/miles de libras de granos de café, etc.) a un precio de futuros de $q = \$10$, entonces usted recibe $z \cdot q = \$300$ en $t = 0$. En $t = 1$, debe entregar $30$ barriles de petróleo WTI a su contraparte. Por lo tanto, debe comprar $z = 30$ barriles de WTI al precio al contado de $p = \$20$, digamos, por un costo de $z \cdot p = \$600$.

Lo anterior es un caso de posición corta. De manera similar, si toma una posición larga, le costará $\$300$ hoy pero mañana recibirá $30$ barriles de WIT, los cuales puede vender al precio al contado de $p = \$20$. Esto suma $\$600$ a su presupuesto de $t=1$ que luego puede utilizarse para comprar bienes de consumo $x_i$.

Ya sea en una posición larga o corta, el costo hoy es $z \cdot q$ y la ganancia mañana es $z \cdot p$.

Si tiene una riqueza de $t = 0$ igual a cero, el valor total de los contratos que compra no puede ser mayor al valor total de los contratos que vende. Esta es la condición en amarillo.

Para cada bien de commodity, si hay un total de, por ejemplo, $100$ contratos siendo vendidos en $t = 0$, no puede haber $101$ siendo comprados. $$ \mbox{posición larga/demanda agregada} - \mbox{posición corta/oferta agregada} \leq 0. $$ Esta es la condición en morado.

Permitir $< 0$ implícitamente asume que hay otros agentes no modelados que absorben el exceso de oferta. Como alternativa, se puede insistir en que el mercado de futuros se liquide, es decir, $$ \mbox{posición larga/demanda agregada} - \mbox{posición corta/oferta agregada} = 0. $$ Esto no conduciría a un cambio sustancial en las implicaciones económicas del modelo.

Comentarios

Alisado del Consumo Bajo supuestos de convexidad y regularidad en $U$, es claro a partir de la FOC que los agentes en esta economía negocian reclamos en $t = 1$ en $t = 0$ para suavizar su consumo en $t = 1$ a través de los estados.

Trading Secuencial En esta economía, hay un mercado de futuros/forward en $t = 0$ y un mercado al contado en $t =1$. Los agentes negocian hoy sujeto a su restricción presupuestaria hoy, lo mismo para mañana.

Expectativas Racionales Sin embargo, los agentes anticipan correctamente el precio al contado de $t=1$ en $t = 0$. El equilibrio es auto-cumplido.

Radner vs. Arrow-Debreu En un equilibrio de Arrow-Debreu, los agentes negocian reclamos contingentes al estado en $t=0$ ("títulos Arrow-Debreu"). No hay un mercado al contado en $t=1$. La negociación ocurre solo una vez ex-ante. En términos prácticos, los títulos AD son opciones digitales, en lugar de contratos de futuros. A priori, el conjunto de opciones de consumo de los agentes está más restringido en la economía de Radner. Un contrato de futuros es un reclamo no contingente. Un resultado importante es el siguiente:

Si los rendimientos de los activos ${r_{sk}}$ son completos, entonces un equilibrio de Arrow-Debreu puede ser implementado por un equilibrio de Radner.

Esto no es sorprendente. Cuando el mercado es completo, es decir, hay suficientes contratos de futuros para abarcar el conjunto de estados, cualquier perfil de pago de Arrow-Debreu puede ser diseñado a partir de una cartera adecuada de contratos de futuros.