Cobertura delta en las opciones de barrera/digital

Question

Me gustaría plantear una pregunta que tengo en mente y no he encontrado una respuesta clara en Internet.

Cuando tratamos con Opciones de Barrera o Digitales tenemos una discontinuidad en el pago, por lo que las derivadas (las griegas) son muy puntiagudas y toman valores grandes alrededor de la barrera/huelga. En consecuencia, sería una tarea muy complicada cubrir este tipo de opciones porque el operador tendría que comprar o vender grandes cantidades del subyacente, arriesgándose a tener problemas de liquidez y sufrir algunas pérdidas.

En la práctica sé que hay que aplicar un cambio de barrera para cambiar ligeramente la estructura de pago y tener deltas más manejables alrededor de la barrera/huelga.

¿Cómo funciona? ¿Cómo podemos elegir este turno? ¿No sería erróneo fijar una opción diferente (con un precio diferente)?

Y lo que es más importante, ¿qué pasa si el precio del subyacente se desplaza alrededor de la barrera desplazada? En este caso, tendríamos que comprar/vender grandes cantidades para cubrir el delta de todos modos.

Answer 1

Tienes razón en que las grietas "reales" de una opción digital son difíciles de manejar, por ejemplo, la delta es cero en todas partes excepto en la barrera, donde es un impulso. Por ello, las mesas de negociación de los vendedores modelan/valoran las opciones digitales como diferenciales de compra/venta muy ajustados que se adaptan y juegan bien con el resto del libro.

Un ejemplo sencillo: supongamos que un banco vende una opción de compra digital sobre AAPL que paga \$1000 if the stock is over \$ 150 al vencimiento. Esto podría ser modelado como estar corto de 100 \$140/\$ 150 spreads de llamadas. Así que si la acción termina en \$155, the trader would have hedged against a payout that matches the digital (\$ 1000 = 100 call spreads * \$10 diferencia de strike). En este caso, no hay riesgo de gap/fijación al vencimiento.

Entonces, ¿cuál es el problema de esto? En pocas palabras, el precio que el comerciante ofrece por el digital va a ser muy poco competitivo, ya que la persona que pide el digi podría ir y simplemente comprar call spreads por sí misma (aunque esto no es posible para todos los subyacentes), por lo que el comerciante pronto se quedará sin trabajo.

¿Cómo puede mostrar un mejor precio? Básicamente de dos maneras:

• Utilizar más Aprovechar lo que significa que modelarían la llamada digi como un diferencial de llamada más ajustado. Cuanto más ajustados sean los strikes utilizados para el modelo, más diferenciales de compra se necesitarán, y más grandes y discontinuos serán los griegos en el libro. Por ejemplo, si se modela como 145/150, se necesitarían 200 spreads, 1000 spreads para 149/150 y así sucesivamente. Sin embargo, no hay riesgo de brecha.

• Usando lo que usted llama un cambio de barrera . Aquí es donde las cosas pueden ponerse picantes. En pocas palabras, se trata de cambiar dónde se centra el call spread utilizado para modelar el digi. Digamos que el operador modela el \$150 digi call as 500 \$ 149/ \$151 call spreads (so one on either side of the digi strike rather than both at/below in our first example). Then his/her price on the digi is going to certainly be a bit better for the client. But what happens if the stock is at \$ ¿150,50 al expirar el digi? Entonces el comerciante tendría que pagar efectivamente el \$1000 but only have \$ 750 de sus coberturas (ya que se cubrieron contra los diferenciales de compra, pagando 500 * (150,50-149) = 750), por lo que realizarían una pérdida de fijación al vencimiento de \$250.

El comerciante debe evaluar cuánto Aprovechar es realista o práctico (a) en el contexto del resto de su libro de operaciones y de la gestión griega y (b) en lo que respecta a su punto, dado el liquidez en el mercado subyacente para la cobertura delta/vega. En este punto, es probable que sigan siendo poco competitivos sin tomar algunos El riesgo de brecha (sin cobertura) a través de un cambio de barrera, pero tratarían de mantener su exposición digital total a una cantidad modesta en cualquier momento.

Answer 2

Estoy casi de acuerdo con la respuesta de @phlsmk, pero con algunas pequeñas diferencias.

En primer lugar, el delta de un digital es no "cero en todas partes excepto en la barrera donde es un impulso". Esto es lo que es en $t=T$ . antes de esto, se suaviza, exactamente como una opción regular es.

El problema está en lo que puede llegar a ser el delta. Este no es el único lugar donde ocurre.

Veamos un ejemplo, sólo una llamada de vainilla. K=100, r=q=0 (es decir, no hay deriva, fwd es lo que sea el spot), $\sigma$ =20% (cambiar el vol. en todos estos ejemplos será como cambiar la hora, así que realmente no supone una diferencia en la respuesta). Abajo, adu es el delta absoluto/unidad, y aguu es la gamma absoluta/unidad/unidad.

Obsérvese cómo a medida que el tiempo se hace cero, el resultado se acerca a una cúspide. Aquí están el delta y el gamma:

Ahora, creo que es bastante fácil ver que como $t \to T$ esto se vuelve inmanejable para la cobertura.

Un método para solucionar esto es dividir la opción en varias, con diferentes strikes repartidos alrededor de la original. Esto es lo que parece (con el $t=1.0$ pv superpuesto en naranja para comparar):

y aquí está la diferencia de precio a medida que pasa el tiempo:

Bien, ¿entonces delta y gamma?

Así que el delta tiene un paso extra en el medio, y el gamma sigue siendo espigado, pero ahora cada pico es la mitad del tamaño de antes. Obviamente, podemos hacerlo mejor todavía.

Hagamos una tira de opciones repartidas de 90 a 110.

Aquí está nuestro nuevo pago, y la comparación con el original:

Y de nuevo, delta y gamma:

Por lo tanto, se puede ver que mediante la difusión de nuestro pago, podemos reducir la potencial riesgo al que podemos enfrentarnos en el futuro, con un aumento mínimo de los costes.

Esto es sólo para una opción vainilla - pero una digital es esencialmente la primera derivada de una llamada wrt. huelga, por lo que sólo cambiar gamma para delta en los ejemplos anteriores.

Evidentemente, cuanto más se unten las barreras, mayor será el coste. Aquí es donde entran los límites de riesgo. Si usted quiere hacer una de estas operaciones en tamaño pequeño, no hay necesidad de esto, ya que el riesgo máximo será pequeño. Sin embargo, si vienes a mí y me pides hacer una digital de 100 mm, entonces podría tener una cobertura muy grande en mis manos, por lo que suavizaré el pago para reducir ese riesgo - esto es sólo otro costo de hacer un comercio grande. Si puedes encontrar a otra persona que esté más dispuesta a aceptar un riesgo enorme, entonces tal vez te ofrezca un precio más bajo.

No estoy de acuerdo en que hacer esto haga que tus precios no sean competitivos, ya que es algo extremadamente estándar -> todo el mundo lo hace. La cantidad puede variar, pero como ya he mencionado, esto también depende del tamaño. Y a medida que se va aumentando el tamaño, el mercado se va a reducir de todos modos, por lo que es de esperar que los costes aumenten.

Y para el cambio de barrera: ¿por qué iba a hacerlo el banco en otra dirección que no fuera la del cliente? Cuando se hace así, el PnL al vencimiento es siempre $\geqslant0$ .

eidt: Así que me pasé un poco más de tiempo jugando con mi hoja de cálculo para esto - se puede hacer aún mejor. ¿Por qué ponderar los nocionales de las opciones de manera uniforme? Si los ponderamos de acuerdo a una normal, podemos obtener griegas de buen comportamiento todo el tiempo, incluso en $t=T$ :

donde este último es el delta de su digital. Fíjate en que los dos métodos son diferentes: el primero tiene un nivel más bajo para toda la región, pero aparece de forma abrupta. el segundo tiene un máximo mayor, pero se acerca lentamente. La decisión que tomes dependerá de cómo quieras gestionar las cosas.