Tiempo de huelga en un partido

Question

Supongamos que A envía un rompecabezas a B en el que si B resuelve el rompecabezas dentro de las 24 horas recibe un pago de M (M>0), si no entonces no recibe nada, es decir, 0. Considere que A bloquea el dinero en el banco durante las 24 horas y si B resuelve el rompecabezas retira el dinero del banco. Si no, el banco devuelve M a A después de 24 horas. Si B resuelve el rompecabezas en 10 segundos (tiempo de ataque 10), obtiene una recompensa de M. Si lo resuelve a la hora 23 (tiempo de ataque 23) obtiene una recompensa de M. ¿Puede haber alguna manera de desincentivar el retraso en la resolución del rompecabezas para que A no tenga que mantener su dinero bloqueado durante un largo período de tiempo? Una estrategia que se me ocurre es pedirle a B que bloquee también una determinada cantidad, de forma que se vea obligado a resolver el puzzle rápidamente. ¿Cómo puedo calcular el tiempo de huelga en el que B resuelve para que cualquier retraso más allá de esto no sea rentable?

Answer 1

Calcular un tiempo de huelga preciso sin detalles adicionales es, en mi opinión, claramente imposible. Sobre la cuestión de cómo hacerlo con información adicional/supuestos:

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Una solución sencilla sería hacer que M dependiera del tiempo: cuanto mayor sea el tiempo transcurrido, menor será M. Parece que usted no quiere hacer esto.

Problema de base

Supongamos ahora que M no depende del tiempo, y que B maximiza el valor presente de su beneficio (supongamos un tipo de interés constante $r$ ) menos el coste del esfuerzo de completar la tarea en el momento $t$ (indicada por $C_t$ ), por lo que el objetivo de B es

$$ \max_t \frac{\text{M}}{(1+r)^t} - C_t. $$

$C_t$ no depende del tiempo

Si además suponemos que $C_t$ es constante en el tiempo, entonces éste no sólo es decreciente en $t$ , pero disminuyendo a un tasa decreciente . (La segunda derivada respecto a $t$ es positivo). Esto significa que B no querrá perder ningún valor presente y resolverá el rompecabezas lo antes posible (cuando $r$ es bastante grande), o que a B no le importará mucho la pérdida y resolverá en la fecha límite (cuando $r$ es bastante pequeño).

B también pone dinero

Esto no se modifica porque B también deposita (bloquea) una cantidad de dinero ( $\text{M}_B$ ), ya que la pérdida $$ \text{M}_B - \frac{\text{M}_B}{(1+r)^t} $$ resultante también se está reduciendo a un ritmo cada vez menor.

$C_t$ depende del tiempo

Supongamos ahora que $C_t$ depende del tiempo, por ejemplo, B tiene que estar en el cine durante las próximas tres horas y sólo puede resolver el rompecabezas después, o los costes computacionales hacen que sea costoso alquilar potencia de cálculo adicional y reducir el tiempo. Si hay casos en los que $C_t$ aumenta a un ritmo creciente, es decir $C_{t+2} - C_{t+1} > C_{t+1} - C_{t}$ entonces es posible que el problema de maximización tenga una solución interior, es decir, que el tiempo óptimo sea mayor que cero pero menor que el plazo. Sin embargo, esto sólo se puede calcular si se conoce el tipo de interés $r$ así como la función de coste de B, por lo que hay que obtener bastante información de B.

$r$ depende del tiempo

Curiosamente si permitimos $r$ variar, es decir, el tipo de interés es $r_t > 0$ en el momento $t$ no hay muchos cambios. En el $C_t$ no depende del caso del tiempo, el problema se resolverá de nuevo inmediatamente o justo en la fecha límite. Si $C_t$ depende del tiempo, es posible una solución interior, pero para calcular el tiempo óptimo necesitamos un montón de información/supuestos adicionales.