Fijación de precios para un tipo extraño de opción de activo o nada

Question

Intentar derivar la función de precios de un derivado sobre dos activos $S^1$ y $S^2$ con la siguiente función de pago:

$$\Phi(S^1_T,S^2_T)=S_T^1 \, \unicode{x1D7D9}\{S_T^2\le K\}$$

donde simplemente estoy usando $\unicode{x1D7D9}$ como función indicadora. Además, lo más importante es que los dos activos se rigen por procesos de Wiener independientes. Así que, efectivamente, tenemos una opción de venta binaria sobre $S_T^2$ donde la recompensa es $S_T^1$ . Por lo tanto, sé algunas cosas desde el principio. Si el pago fuera alguna cantidad fija $K$ la función de fijación de precios sería $Ke^{-rT}N(-d_2)$ . Por otro lado, si el pago fuera el activo $S_T^2$ la función de fijación de precios sería $S_0^2N(-d_1)$ .

Así que, dado que tenemos procesos Weiner independientes, creo que el precio debería ser más similar a un binario de pago fijo. Además, el pago debería ser la expectativa neutral al riesgo del activo de pago. Es decir,

\begin{align} &\pi(t)=S_t^1e^{r(T-t)}e^{-r(T-t)}N(-d_2)\\ \iff& \pi(t)=S_t^1N(-d_2) \end{align}

con $d_2$ definido como lo sería en el modelo B-S estándar. Espero que alguien pueda confirmar/desmentir esto y quizás proporcionar una derivación más rigurosa. Gracias.

Answer 1

El precio es, bajo la medida de riesgo neutral, $$ P_t = e^{-r(T-t)}\mathbb E[S_T^1 \mathbb 1(S_T^2\le K)\mid \mathcal F_t].$$ Dado que los procesos de activos neutrales al riesgo son movimientos geométricos brownianos independientes, $S_T^1$ y $S_T^2$ son condicionalmente independientes dado $\mathcal F_t.$

Así que los factores de expectativa condicional y se obtiene $$ P_t = e^{-r(T-t)}\mathbb E[S_T^1\mid \mathcal F_t]\mathbb E[\mathbb 1(S_T^2\le K)\mid \mathcal F_t] = S^1_t N(-d_2)$$ (donde " $d_2$ "es, por supuesto, relativo a la $S^2_t$ proceso) tal y como dices.