Encontrar el equilibrio de Nash bayesiano

Question

Soy nuevo en la Teoría de Juegos y recientemente he empezado a enseñarme sobre el Equilibrio de Nash Bayesiano. Me he topado con un problema que no puedo entender en relación con el Equilibrio de Nash Bayesiano.

El conjunto de problemas se muestra a continuación:

Para la pregunta 3, inicialmente traté de resolver el primer problema utilizando el Equilibrio Bayesiano Mixto de Nash, pero eso no tiene sentido ya que tanto el Jugador 1 como el Jugador 2 tienen estrategias débilmente dominadas, así que ¿por qué iban a mezclarse? Además, cuando combino las matrices no encuentro ningún Equilibrio Bayesiano de Estrategia Pura.

¿Hay algo que se me escapa? ¿Cómo puedo resolver esta cuestión? Algunos ejemplos serían muy útiles

Para la pregunta 4, no tengo ni idea de por dónde empezar a resolver esta pregunta. No he encontrado ninguna pregunta o tutorial sobre cómo resolver los Equilibrios de Nash Bayesianos cuando AMBOS jugadores no saben a qué juego están jugando. Cualquier ayuda sobre cómo resolver este problema sería muy apreciada.

Answer 1

La clave del BNE es que los jugadores que saben algo (sobre el estado del mundo o su tipo) pueden condicionar sus estrategias con su información. Es decir, por ejemplo, en la pregunta 3, el tipo A podría elegir la estrategia U, mientras que el tipo B podría elegir la estrategia D. Por lo tanto, desde la perspectiva del segundo jugador, hay cuatro posibles estrategias puras de su oponente. A saber, UU, UD, DU y DD. Que representan las acciones de cada tipo del jugador 1.

Lo que se quiere hacer es construir otra tabla en la que el jugador 1 tenga estas cuatro estrategias y el jugador 2 tenga las estrategias L y R, cuyos pagos son los esperados. Por ejemplo, en la celda (UU, L) el resultado del jugador 2 es $0.5(4)+0.5(2)=3$ y para (UU, R) tiene un valor de $0$ . Esta tabla sólo es útil para evaluar los pagos del jugador 2, ya que el jugador 1 conoce su tipo, por lo que no es necesario rellenar un número para el jugador 1. Después de construir la tabla se da cuenta de que el jugador 2 tiene una estrategia débilmente dominante (L). Tienes que ir y venir entre las dos tablas (para el tipo A y B) y la tercera tabla para el jugador 2 para encontrar todos los puntos fijos.

Para este juego, hay varios equilibrios; así que quizás eso te esté despistando. Por ejemplo, supongamos que el jugador 2 juega su estrategia débilmente dominante, L, en ese caso, ambos tipos son indiferentes entre U o D, por lo que ambos podrían elegir U. Dada la estrategia UU, la única respuesta mejor del jugador 2 es L, por lo que se trata de un equilibrio. Es decir, (UU, L) es un equilibrio.

Intenta convencerte de que (DD,R), (DD,L) son los otros equilibrios, y que no hay más equilibrios.

En cuanto a la pregunta 4, en realidad es más sencilla. Dado que ningún jugador conoce el estado del mundo, no puede condicionar sus acciones al estado del mundo. así que las acciones puras para el jugador 1 son U o D y para el jugador 2 son L y R.

Tendrá que construir otra tabla en la que los jugadores promedien los pagos de cada una de las cuatro combinaciones posibles de acciones. Por ejemplo, para la celda (U,L), el pago para el jugador 1 es 1 y para el jugador 2 es cero. Del mismo modo, el resultado de la celda (U,R) es $(0,0.5)$ . Después de construir la nueva tabla se puede encontrar la BNE mediante el algoritmo habitual para encontrar la NE estándar de movimientos simultáneos.

Intenta convencerte de que hay un continuo de equilibrios para este juego. En todos ellos, el jugador 2 elige $R$ ya que es una estrategia dominante, y el jugador 1 es indiferente entre ambas acciones por lo que elige cualquier estrategia mixta o pura (que técnicamente hablando es un tipo de estrategia mixta también).