Representación Feynman-Kac del modelo Black-Cox

Question

Consideremos la configuración estándar de Black y Cox (1976, Journal of Finance).

Una empresa emite un bono con cupón impagable para financiar un activo productivo que sigue un movimiento geométrico browniano: $$dx_t = \mu x_t dt + \sigma x_t dW_t$$ con barrera absorbente $x_b$ (umbral de incumplimiento). El bono paga un tipo de cupón fijo $c$ y principal $p$ y tiene madurez $t \in [0, T]$ . Los pagos del cupón y del principal se producen con la condición de no haber incurrido en impago y, en caso contrario, el valor de recuperación es $\alpha x_b$ .

El precio del bono $u$ se describe mediante la ecuación diferencial parcial: $$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mu \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) - r u(x,t) + c = 0$$ definido para todos los $x \in \mathbb{R}_+$ y $t \in [0,T]$ , sujeto a las condiciones de contorno: $$u(x,T) = p; \; \; u(V_b, t) = \alpha x_b$$

Denota por $f(s; x_t)$ la densidad del primer tiempo de paso $s$ de $x_t$ a $x_b$ y $F(s; x_t)$ la distribución acumulativa. La solución de la pde es (¡corrígeme si me equivoco!):

\begin{equation} \begin{split} u(x_t, t) = & \int_t^T e^{-r(s-t)} c [1-F(s; x_t)] ds + e^{-r(T-t)} p [1-F(T; x_t)] \\ & + \int_t^T e^{-r(s-t)} \alpha x_b f(s;x_t) ds \end{split} \end{equation}

Primera pregunta: ¿la única forma de llegar a esta fórmula es la representación FK? Estaba mirando de atacar directamente el pde como en Black-Scholes (por ejemplo, a través de la solución de la ecuación de difusión equivalente), pero no me queda claro cómo tratar la barrera.

Segunda pregunta: ¿cuál es la representación FK en este caso? Mi intento es: \begin{equation} \label{FeynmanKac} \begin{split} u(x_t, t) = E_t \Bigg\{ & \int_t^{T \wedge \tau_b} e^{- r(s-t)} c ds + \\ & e^{- r(T \wedge \tau_b - t)} \Big( 1_{\{ \tau_b > T \}} p + 1_{\{ \tau_b < T \}} \alpha x_b \Big) \Bigg\} \end{split} \end{equation} donde $\tau_b$ es el primer tiempo de paso de $x_t$ a través de $x_b$ y $1$ es la función indicadora. No estoy del todo seguro de cómo obtener la densidad del FK, este es el paso que más me confunde.

Answer 1

No estoy seguro de que esto responda a tu pregunta, pero lo que llamas "solución pde" viene directamente de tu configuración probabilística.

Con $t=0$ tenemos:

$$ E \left[ e^{- rT}p 1_{x_T\geq p, \tau_b\geq T}\right] = e^{- rT}p Q(x_T\geq p, \tau_b\geq T)$$

$$ E \left[ e^{- r\tau_b} \alpha x_b 1_{ \tau_b< T}\right] = \alpha x_b \int_0^T e^{- rs}\; dQ(\tau_b\leq s) $$

$$ E \left[ \int_0^{T} e^{- rs} c 1_{\tau_b>s}ds \right] = c \int_0^{T} e^{- rs} Q(\tau_b>s) \; ds$$

La pieza que parece faltar es el defecto en $T$ con recuperación $x_T<p$ :

$$ E \left[ e^{- rT} x_T 1_{x_T< p, \tau_b\geq T}\right] = e^{- rT} \int_{x_b}^p x \; dQ( x_T< x, \tau_b\geq T ) $$

Pero probablemente no lo necesites ya que tu condición de contorno es $u(x,T)= p$ , en lugar de $\min (p,x)$ .

La fdc conjunta para $x_T$ y $\tau_b$ y la fdc de $\tau_b$ se conocen en forma cerrada (incluidos los condicional en $\cal F_t$ , $t>0$ ).