Derivación de la función de costes a largo plazo de tres insumos con características similares a las de Leontief

Question

Supongamos que una empresa produce un bien utilizando capital, mano de obra cualificada y mano de obra no cualificada. Sea $K$ denotan la cantidad de capital, $L_1$ mano de obra no cualificada, $L_2$ mano de obra cualificada. La función de producción es $f(L_1, L_2, K) = K^2 min\{L_1, L_2^{\frac{1}{3}}\}$ . Además, deja que la tasa de alquiler de capital, $r=200$ El salario no cualificado es $w_1=5$ y la tasa de salario cualificado es $w_2=6$ .

Encontrar la función de costes a largo plazo.

No estoy seguro de cómo abordar este problema dado el término K^2 de la función. Así, he intentado cuando $K=1$ . Sin embargo, me gustaría saber cómo enfocarlo para todos $K$ , donde $K$ es un número natural.

Mi intento

Supongamos que $K=1$ . Entonces tenemos $$f(L_1, L_2, 1) = min\{L_1, L_2^{\frac{1}{3}}\}$$

De aquí se desprende que para minimizar el coste en un nivel determinado $q$ tenemos $L_1=L_2^{\frac{1}{3}}=q$ lo que lleva a $$L_1=q$$ $$L_2=q^3$$ . Así, $$c(q)=200+5q+6q^3$$

Answer 1

Su razonamiento de que $L_1=L_2^{1/3}$ es válido para cualquier $K$ . De hecho, si esta igualdad no se cumple, se puede reducir el coste disminuyendo el exceso de mano de obra cualificada o no cualificada. Así, se puede reescribir el problema de minimización de costes en dos dimensiones en lugar de en tres

\begin{equation} \min_{K,L_1}{200 K + 5 L_1 + 6 L_1^3} \end{equation} con sujeción a \begin{equation} K^2 L_1 = q \end{equation}

Desde la restricción se puede sustituir $L_1$ por $q/K^2$ en la función objetivo, que se convierte en un problema de minimización con una variable $K$ y un parámetro $q$ . Al resolverlo se obtendrá la función de coste como función de valor del problema.