Ayudar a adivinar la solución de un problema de control óptimo

Question

Considero que un inversor se enfrenta a un problema de minimización multiperiodo en tiempo discreto $$\min_{\{v_t\}_{t=0}^\infty}\Bigg[\sum_{t=0}^\infty(1-\rho)^{t+1}\bigg(\frac{1}{2}v_{t}\Omega_{t+1}v_{t}'\bigg)+\frac{(1-\rho)^t}{2}\bigg(\frac{1}{2}\Delta v_t'\Lambda\Delta v_t\bigg) \Bigg] \quad \text{s.t.} \quad v_t'\textbf{1}=1$$ Dejemos que $v_t$ sea un vector de ponderaciones que se asigna a cada activo, $\Omega_t$ sea la matriz de covarianza variable en el tiempo y $\Lambda$ sea una matriz simétrica de costes de negociación. Finalmente, $\rho\in(0,1)$ sea el factor de descuento y $\textbf{1}$ siendo un vector de 1's. Este problema tiene una función de valor correspondiente $$V(v_{t-1})=\min_{v_t}\Bigg[\frac{1}{2}\Delta v_t'\Lambda\Delta v_t+(1-\rho)\bigg(\frac{1}{2}v_{t}\Omega_{t+1} v_{t}' +\mathbb{E}_t[V(v_{t})] \bigg)\Bigg] - \lambda(v_{t-1}'\textbf{1}-1)$$

Busco encontrar la ecuación de Bellman mediante el método de "adivinar y verificar" (similar a Gârleanu y Pedersen, 2013).

Sin la restricción ( $v_{t-1}'\textbf{1}=1$ ), puedo comprobar que $$V(v_t)=v_t'A_{vv}v_t+A_0$$ es una solución con $A_{vv}$ una matriz simétrica de parámetros. Pero con la restricción, no he podido encontrar una conjetura que resuelva el problema. ¿Se puede encontrar una conjetura adecuada que incluya la restricción?

Answer 1

Su restricción de que las posiciones sumen uno sería extraña, a menos que implique también una restricción de sólo largo. No existe una solución de forma cerrada para la optimización de la varianza media con restricciones de no negatividad (o de caja). Se trata de un problema de programación cuadrática estándar, que puede ser manejado eficientemente de forma numérica. En un contexto largo/corto, las restricciones de posición se imponen en términos de $L_1$ o $L_2$ norma. El primer caso tampoco permitiría una solución de forma cerrada; el segundo sólo añade a su $\Omega$ matriz. Otras generalizaciones, incluyendo los costes de impacto no locales, el deslizamiento, el tiempo continuo, etc., se describen en mi reciente libro .