Dime si esto ayuda, pero el autor menciona un artículo de Fujii y Takahashi; lo he buscado en Internet y he encontrado lo que parece ser una versión del mismo: Colocación de la garantía y elección de la moneda de la garantía . Creo que dan una explicación relativamente transparente $-$ en términos de costes de financiación $-$ de por qué el tipo de descuento de las operaciones con garantía debe ser el tipo de la garantía. Reproduzco aquí algunos extractos $-$ el autor se refiere a un contrato derivado entre dos partes, A y B $-$ mi énfasis:
[Comercio sin garantías] : " Consideremos la situación en la que la empresa A tiene un valor presente (VP) positivo en el contrato con la empresa B de alta calidad crediticia. Desde el punto de vista de la empresa A, equivale a conceder un préstamo a la contraparte B con el principal igual a su VP. Dado que la empresa A tiene que esperar el pago de la empresa B hasta el vencimiento del contrato, está claro que A tiene que financiar su préstamo y, por lo tanto, el coste de financiación debe reflejarse en el precio del contrato. Si la empresa A tiene (y sigue teniendo) la calidad crediticia del Libor Si la empresa A tiene (y sigue teniendo) la calidad crediticia del Libor, el coste de financiación viene dado por el Libor de su moneda de financiación ya que hace que el valor actual de la "financiación" sea cero. Esta es la principal razón por la que el Libor (tipo de interés interbancario de Londres) se ha utilizado ampliamente como indicador del tipo de descuento en la fijación de precios de los derivados. "
[...]
[Comercio colateralizado] : " La situación anterior cambia drásticamente cuando la operación está garantizada [...] . Supongamos que la operación se ha realizado con un CSA (anexo de apoyo crediticio, un documento legal que regula el apoyo crediticio a las operaciones con derivados), que exige una garantía en efectivo con un importe mínimo de transferencia cero, así como un umbral. En este caso, no hay necesidad de financiación externa para la empresa A, ya que la empresa B deposita el importe en efectivo equivalente al VP. Ahora, la empresa A tiene que pagar a la contraparte B el margen cuyo tipo de interés se denomina "tipo de garantía" aplicado al importe de la garantía depositada. Esto hace que el coste de financiación del contrato sea igual al tipo de la garantía. "
Tenga en cuenta que es el partido recibiendo la garantía que paga la tasa de garantía a la parte publicación la garantía.
[Edición 15/09/17]
Amplío mi respuesta anterior, tratando de responder a sus preguntas.
"[...] la garantía es pagada por el titular de la fianza [quiso decir a en lugar de de ?] el emisor, por lo que no veo cómo se beneficiaría el titular de los tipos de garantía; ¿no debería ser el emisor en su lugar? "
Tenga en cuenta que $V(t) > 0$ Por lo tanto, siempre será el vendedor de los bonos el que ponga la garantía al comprador $-$ ya que el bono tiene siempre un valor positivo para el comprador. Por lo tanto, el comprador tiene en todo momento $t$ en $[0,T]$ un importe de garantía igual a $V(t)$ por el que tiene que pagar el tipo de garantía (determinista) $c(t)$ al vendedor.
El vendedor sabe que tiene que entregar $1\$$ en el momento $T$ al comprador, pero tiene que depositar continuamente una garantía igual al valor de la fianza al comprador, que le remunerará continuamente a la tasa $c(t)$ . Por lo tanto, si valora el bono de cupón cero en $0$ como $-$ mantenemos la suposición del autor de que las tasas son deterministas:
$$ V(0) = e^{-\int_0^Tc(t)dt}$$
Sabe que "aguantará" $1\$$ de la garantía en la cuenta de garantía del comprador en $T$ porque este último está pagando $c(t)$ para la garantía.
" En general, si el tipo libre de riesgo no fuera el tipo de interés colateral, ¿cómo podríamos crear un arbitraje? ¿Podría alguien explicar con más detalle lo que está pasando? "
Para simplificar, suponemos que las tasas son constantes, es decir $r$ y $c$ son los tipos "libres de riesgo" y de garantía para los préstamos durante el período $[0,T]$ . Consideremos ahora dos casos:
-
$r<c$ si el vendedor fija el precio del bono de cupón cero como $$ V(0) = e^{-rT} $$ Por el mismo argumento de réplica que antes, el vendedor tiene que publicar $V(0)$ como garantía; la garantía crecerá a un ritmo $c$ por lo que al vencimiento la cuenta de garantía $C(T)$ tendrá el valor: $$ C(T) =e^{(c-r)T} > 1 $$ El vendedor puede entonces recuperar $e^{(c-r)T}-1$ de la cuenta de garantía como beneficio sin riesgo.
-
$r>c$ La estrategia anterior daría lugar a una pérdida esta vez. En este caso no hay una estrategia clara que permita al vendedor obtener un beneficio sin riesgo sin hacer pagar al comprador un precio $V(0)$ más alto que el $1\$$ que va a recibir en $T$ . Siempre puede poner el precio: $$ V(0) = e^{(r-c)T} $$ Para que la cuenta de garantía contenga $e^{rT}>1$ en $T$ pero es poco probable que el comprador entre en ese acuerdo $-$ excepto en el caso de los tipos negativos, tal vez. El problema es que en $t=0$ el precio $V(0)$ se pignora inmediatamente como importe de la garantía $C(0)$ .
[Edición 2 15/09/17, modificada el 09/10/17] $^{\text{ [1]}}$
Para demostrar más formalmente que el tipo de garantía es el correcto, consideremos un activo negociable $X(t)$ que sigue un proceso genérico de Ito y no paga ningún flujo de caja (dividendos, cupones, etc.):
$$ dX(t) = \mu_X(t,X(t))dt+\sigma_X(t,X(t))dW(t)$$
También suponemos que el tipo de garantía $r_C(t)$ es estocástica.
Podemos interpretar el bono de cupón cero como un derivado escrito sobre el activo $X(t)$ con una función de recompensa $h(T,X(T))=1\$$ al vencimiento $T$ (nótese que no hay incertidumbre sobre cuál será el pago final). Observaremos su valor en el momento $t$ como $V(t) = V(t,X(t))$ . El activo $X(t)$ es meramente instrumental y nos permite aplicar la Teorema de Feynman-Kac para obtener el tipo de descuento correcto $-$ ver nota a pie de página $\text{[1]}$ .
Supongamos un importe de garantía en efectivo $C(t)$ tiene que ser contabilizado continuamente para el titular de la fianza de manera que $C(t)=V(t)$ (garantía perfecta) y que este importe se remunera al tipo de la garantía. Para replicar el bono, el vendedor forma una cartera $\Pi(t)$ compuesto por el activo y la cuenta de efectivo $\beta(t)$ :
$$ V(t) = \Pi(t) = \Delta_X(t)X(t)+\beta(t) $$
Para autofinanciarse, la cuenta de tesorería debe estar compuesta por 1) la financiación de la compra de activos $-$ posición opuesta a la tenencia del activo $-$ que suponemos que se hace a un ritmo $r_X(t)$ y 2) el importe de la garantía, que es igual al valor del derivado:
$$ \beta(t) = C(t)-\Delta_X(t)X(t) = V(t)-\Delta_X(t)X(t)$$
Como la cartera se autofinancia, tenemos:
$$ dV(t) = d\Pi(t) = \Delta_X(t)dX(t)+d\beta(t) \tag{1} $$
Dado que la garantía se remunera a la tasa $r_C(t)$ y la financiación de la compra de activos se hace a la tasa $r_X(t)$ La cuenta de tesorería crece en función de:
$$ d\beta(t) = r_C(t)V(t)dt - r_X(t)\Delta_X(t)X(t)dt $$
Por otro lado, por el lema de Ito:
$$ dV(t) = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial X}dX(t)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial X^2}dX(t)^2 \tag{2}$$
Según los argumentos estándar de cobertura utilizados en el marco de Black-Scholes, elegimos $\Delta_X(t)$ para eliminar el riesgo $-$ es decir anular los términos aleatorios en $dX(t)$ $-$ en $\text{(1)}$ y $\text{(2)}$ y equiparar ambos:
$$ \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial X^2}dX(t)^2 = r_C(t)V(t)dt - r_X(t)\Delta_X(t)X(t)dt $$
Se trata de la ecuación de Black-Scholes con diferentes tipos de garantía y de financiación de activos y sin tipo "libre de riesgo".
Dada la condición terminal del bono $-$ $V(T)=h(T,X(T))=1$ $-$ podemos aplicar el teorema de Feynman-Kac y obtener:
$$ V(t) = E^Q\left[e^{-\int_t^Tr_C(u)du}|\mathcal{F}_t\right] $$
donde $Q$ es una medida neutral de riesgo bajo la cual $X(t)$ crece a un ritmo $r_X(t)$ . Se ve que el tipo de la garantía es el tipo de descuento correcto en este caso: el comprador de bonos financia la posición a través del tipo de la garantía.
$\text{[1] }$ Esta demostración ha sido modificada a partir de una versión anterior para aplicar rigurosamente el teorema de Feynman-Kac. En opinión de quien escribe, si no definimos un auxiliar comercializable activo $X(t)$ y en su lugar hacemos que el precio del bono dependa del tipo de la garantía, entonces sin asumir (fuertemente) que 1) el tipo $r_C(t)$ se negocia en sí mismo o 2) las derivadas 1ª y 2ª del precio del bono con respecto al tipo de interés colateral son nulas, no es posible derivar una EDP de precios a la que podamos aplicar Feynman-Kac para encontrar el precio del bono cupón cero.
[Edit 08/10/17]
" En general, si el tipo libre de riesgo no fuera el tipo de interés colateral, ¿cómo podríamos crear un arbitraje? ¿Podría alguien explicar con más detalle lo que está pasando? "
Para más información sobre el arbitraje de diferentes tipos de descuento y acuerdos de garantía, puede leer Riesgo artículo de la revista "Goldman y la fiebre del oro de OIS" .
