Estoy estudiando Matemáticas Esenciales para el Análisis Económico y en el capítulo 12 problema 10 hay un problema que puedo resolver pero no entiendo porque la solución funciona.
El problema nos pide que diferenciemos el siguiente sistema de la teoría de la demanda del consumidor:
$$U'_1(x_1,x_2) = \lambda p_1 \\ U'_2(x_1,x_2) = \lambda p_2 \\ p_1 x_1 + p_2x_2=m $$
donde el sistema define $x_1, x_2$ y $\lambda$ como funciones diferenciables funciones de $p_1,p_2$ y $m$ . Después se nos pide que encontremos la expresión para $\partial x_1 / \partial p_1$ .
Ahora no tengo ningún problema con el primer paso - el sistema diferenciado será:
$$U^{''}_{11}(x_1,x_2)dx_1 + U^{''}_{12}(x_1,x_2)dx_2 = \lambda dp_1 + p_1 d\lambda \\ U{''}_{21}(x_1,x_2)dx_1 + U{''}_{22}(x_1,x_2)dx_2 = \lambda dp_2 + p_2 d\lambda \\ p_1 dx_1 + x_1 dp_1 + p_2 d x_2 + x_2 dp_2=dm $$
Ahora mi primer intento fue resolver la segunda ecuación para $dx_2$ sustitúyalo en el primero y resuelva $d x_1 /dp_1$ pero obtuve un resultado erróneo. Después en la solución de atrás hay una pista que dice que para resolver esto debemos poner $dp_2=dm=0$ después de seguir esta pista obtengo la solución correcta:
$$\partial x_1 / \partial p_1 = \frac{[\lambda p_2^2 + x_1(p_2 U^{''}_{12}-p_1U^{''}_{21})]}{(p_1^2 U^{''}_{22} -2p_1p_2U^{''}_{12} + p_2^2 U^{''}_{11})}$$
Pero no entiendo por qué podemos simplemente asumir $d p_2 = dm = 0$ que parece tan arbitrario, ¿cómo es que es necesario para encontrar la solución correcta?
