Representación de la utilidad ordinariamente separable

Question

Dejemos que $X_i$ sea un espacio de Banach separable y compacto.

Definición: Una orden débil $\succeq$ en $X=\prod_{i=1}^NX_i$ tiene un representación ordenadamente separable si existe $u_i: X\rightarrow \mathbb{R}$ y $W:\prod_{i=1}^Nu_i(X_i)\rightarrow \mathbb{R}$ estrictamente creciente en cada coordenada tal que \begin{equation} U(x_1,...,x_N)=W(u_1(x_1),...,u_N(x_N)) \end{equation} representa $\succeq$ .

Definición: Dada una orden débil $\succeq$ , un índice $i\in I$ es separable si para todo $x,y,z,z'\in X$ , $x_iz\succeq y_iz\iff x_iz'\succeq y_iz'$ , donde $x_iz$ significa $x_i$ en la coordenada i de un vector $x\in X$ y z en caso contrario. Un orden débil satisface separabilidad del singleton si todos $i\in I$ son separables.

En Teoría de la decisión de Tomasz Strzalecki capítulo 3,, existe el siguiente teorema sin demostración:

Teorema: Supongamos que $\succeq$ es un orden débil en $X=\prod_{i=1}^NX_i$ . La ordenación $\succeq$ satisface la separabilidad y la continuidad del singleton si y sólo si tiene una representación separable ordinariamente con funciones continuas $u_i$ y $W$ .

Afirma que la prueba es bastante difícil. ¿Alguien sabe cómo probar esto o tiene una referencia?

Observación: La suposición de que $X_i$ es separable, compacto y de Banach no es esencial aquí, pero hagamos los espacios $X_i$ lo más agradable posible por el momento.

Answer 1

Este es el esbozo de una prueba. Todo lo que necesitamos es que cada orden débil continuo en cada $X_i$ admite una representación de utilidad continua. Una condición suficiente es que cada $X_i$ es un espacio topológico separable conectado por un teorema de Eilenberg. En el libro de Debreu se ofrece una demostración del teorema de Eilenberg Teoría del valor . Debreu asume que el dominio es euclidiano, pero la prueba se generaliza fácilmente al entorno actual. También se puede utilizar la suposición de que cada $X_i$ es un espacio topológico de segundo conteo (para los espacios metrizables implicados por la separabilidad). Debreu demostró que las representaciones continuas de la utilidad también existen en ese entorno, pero la prueba es considerablemente más difícil.

Definir $\succeq_i$ en $X_i$ por $x_i\succeq_i y_i$ si $x_iz\succeq y_iz$ para algunos $z$ . Claramente, esto define un orden débil continuo y el $z$ utilizado no importa por la separabilidad del singleton. Existe una función de utilidad continua $u_i:X_i\to\mathbb{R}$ .

A continuación, podemos demostrar que $x_i~\sim_iy_i$ para $i=1,\ldots,N$ implica $x\sim y$ . Por aplicaciones repetidas de la separabilidad de los monos obtenemos $(x_1,y_2,y_3,\ldots,y_N)\succeq (y_1,y_2,y_3,\ldots,y_N)$ , $(x_1,x_2,y_3,\ldots,y_N)\succeq (x_1,y_2,y_3,\ldots,y_N)$ y así sucesivamente, hasta que tengamos $(x_1,x_2,\ldots,x_{N-1},x_N)\succeq(x_1,x_2,\ldots,x_{N-1},y_N)$ . Por transitividad, $x\succeq y$ . De la misma manera, $y\succeq x$ y, por lo tanto $x\sim y$ .

Dejemos que $U=\prod_{i=1}^N u_i(X_i)$ un producto de intervalos (posiblemente no limitados). Definir $\succeq^*$ en $U$ por $u\succeq^* u'$ si para algunos $x,y\in X$ uno tiene $u=\big(u_1(x_1),\dots,u_N(x_N)\big)$ , $u'=\big(u_1(y_1),\dots,u_N(y_N)\big)$ y $x\succeq y$ . Por lo que acabamos de mostrar, $\succeq^*$ contiene, junto con $u_1,\ldots, u_N$ la misma información que $\succeq$ . También es obvio que $\succeq^*$ es estrictamente monótona en $U$ . Si una representación de utilidad $W:U\to\mathbb{R}$ de $\succeq^*$ existe, debe ser estrictamente creciente. Hemos terminado si podemos demostrar que existe una representación continua de este tipo. Utilizando cualquiera de los teoremas de representación de la utilidad mencionados, basta con demostrar que $\succeq^*$ es continua.

Así que dejemos $u\succ^* u'.$ Existen $x,y\in X$ tal que $u=\big(u_1(x_1),\dots,u_N(x_N)\big)$ , $u'=\big(u_1(y_1),\dots,u_N(y_N)\big)$ y $x\succ y$ . Desde $\succeq$ es continua y por la definición de la topología del producto, existen vecindades abiertas $V_i\ni x_i$ y $W_i\ni y_i$ tal que $x'\in\prod_{i=1}^N V_i$ y $y'\in\prod_{i=1}^N W_i$ implica que $x'\succ y'$ . Dejemos que $V$ sea el interior de $\prod_{i=1}^N u_i(V_i)$ y $W$ el interior de $\prod_{i=1}^N u_i(W_i)$ . Entonces para $u''\in V$ y $u'''\in W$ uno tiene $u''\succ^* u'''$ Así que $\succeq^*$ es, efectivamente, continua.

Answer 2

No tengo una respuesta completa, pero aquí están mis notas cuando lo estudié que ojalá alguien pueda ampliar a una respuesta completa.

Esbozo de prueba:

1. Consideremos el espacio lineal con base $\cup_{i =1}^N X_i$ y podemos identificar cualquier $x \in X$ por $\sum_i x_i$ .

2. Definir el cono convexo $D = \{\lambda(x-y): x\succeq y;\lambda > 0\}$

3. Dejemos que $D^{-}$ sea el casco convexo de $\{x - y:x \prec y\}$

4. Una representación de utilidad aditiva es un hiperplano que pasa por el origen y que separa estrictamente $D$ de $D^{-}$ .

5. Estos conjuntos deben ser disjuntos, ya que si no lo fueran, podríamos multiplicar los pesos de las combinaciones convexas lo suficientemente grandes como para que al menos una coordenada sea estrictamente preferida.

Esto parece muy de la teorema del Espacio de las Mezclas, así que sospecho que la prueba no es demasiado difícil para los que están familiarizados con ella.