Problema de optimización de Kuhn Tucker

Question

Supongamos que el jugador que selecciono $x_i \ge 0$ a nivel de costes constantes $c>0$

La función de recompensa para el jugador i es

$$v(x_i,t)-cx_i$$

donde $t$ es el parámetro tecnológico.

La función v(.)es dos veces continuamente diferenciable creciente y estrictamente cóncava en $x_i$ .

$v(0,t)=0$

$\partial v(0,t)/\partial _i>c$

$\partial v(x_i,t)/\partial _i<c$

Quiero maximizar este beneficio con respecto a $x_i$ . Pero la cuestión es estrictamente utilizar el método de Kuhn Tucker y establecer y discutir las condiciones de holgura.

Y necesito encontrar la solución de este problema, digamos $x^*$

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Mi solución:

$$L= v(x_i,t)-cx_i +\mu [x_i-0]$$

Condición de primer orden

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c+\mu=0$$

Condición de Kuhn Tucker

$$\mu [x_i-0]=0$$ para $\mu \ge 0$

Caso 1 : $\mu \ge 0$

Entonces, $x_i=0$

Caso 2 : $\mu = 0$

Entonces, $x_i=0$ $$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c=0$$

Sin embargo, la pregunta da que $$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c<0$$

Creo que esto es una contradicción. Por lo tanto, no creo que mi solución sea cierta. Y no puedo escribir el $L$ con dos restricciones, pero sé que el método de Kuhn Tucker requiere al menos dos restricciones.

Por favor, comparta sus ideas conmigo. Muchas gracias.

Answer 1

Esta es la función lagrangiana para el problema de optimización planteado: $$\mathcal{L}(x_i, t) = v(x_i, t) - cx_i + \mu x_i$$

Condiciones necesarias para la optimización:

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_i} =\frac{\partial v}{\partial x_i} - c + \mu = 0$$ y $$x_i\geq 0, \ \mu \geq 0, \ \mu x_i = 0$$

Para resolverlo, considere los siguientes casos :

• $x_i > 0$

  $x_i > 0 \rightarrow \mu = 0 \rightarrow \dfrac{\partial v}{\partial x_i} - c = 0$

  Si existe $x_i^* > 0$ tal que $\dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=x_i^*} - c = 0$ entonces $x_i = x_i^*$ resuelve el problema.

• $x_i = 0$

  $x_i = 0 \rightarrow \mu = c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}$

  Si $c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=0} \geq 0$ entonces $x_i = 0$ resuelve el problema.