Multiplicación de Ito con saltos

Question

Dejemos que $\{N_t|0<t\leqslant T \}$ y $\{M_t|0<t\leqslant T \}$ sean dos procesos de Poisson con intensidades $\lambda_n, \lambda_m>0$ respectivamente.

A partir de los resultados implícitos de los Corolarios 1 y 2 de este artículo y el Teorema 1 de este artículo Creo que deberíamos ser capaces de escribir $$dN_t dM_t = 0.$$

¿Puede alguien ayudarme con la prueba de esta ecuación?

Answer 1

Si $M$ y $N$ son independiente (sus referencias parecen hacer esta suposición), entonces $M+N$ es también un proceso de Poisson. Por lo tanto, utilizando el identidad de polarización :

$$ dMdN = 2^{-1}\left[(d(M+N))^2 - (dM)^2 - (dN)^2\right] $$

$$ = 2^{-1}\left[d(M+N) - dM - dN \right] = 0 $$

(Una prueba de $(dX)^2 = dX$ para un proceso de Poisson $X$ está disponible aquí .)