¿Cómo deducir la fórmula del proceso de riqueza de un modelo de volatilidad estocástica?

Question

Estoy leyendo el periódico Solución de las ecuaciones HJB implicadas en la fijación de precios basada en la utilidad de Daniel Hernández y Shuenn Jyi Sheu.

Los autores consideran la función de utilidad $U: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con

\begin{align} U(w) = -\exp{\left( - \gamma w \right)} \end{align}

y la dinámica del activo de riesgo y la dinámica del proceso auxiliar como sigue.

\begin{align} dS_{t} = S_{t}[\mu(Y_{t}) dt + \sigma(Y_{t})dW_{t}^{1} \\ dY_{t} = g(Y_{t})dt + \beta(Y_{t})[\rho W_{t}^{1} + \sqrt{1 - \rho^{2}} dW_{t}^{2}] \end{align} donde $\rho$ es la correlación de los dos ruidos.

Según el artículo, quieren calcular un basado en la utilidad opción de precio. Para ello utilizan la dinámica del proceso de riqueza

$dX_{t} = \alpha_{t}(\mu_{t}(Y_{t})dt + \sigma(Y_{t})dW_{t}^{1}), X_{0}=x$ .

Dónde $\alpha_{t}$ es un $\mathcal{F}_{t}$ -proceso adaptado que representa la cantidad de dinero invertida en el activo de riesgo en el momento $t $ tal que

$E \int_{0}^{T} \alpha_{t}^{2} dt < \infty$

Pregunta: ¿Alguien sabe cómo deducen los autores la fórmula del proceso de riqueza? Es decir, ¿cómo pueden deducir la fórmula sin mencionar el activo sin riesgo y el tipo de interés? ¿Por qué utilizan $\alpha_{t}$ en el proceso de riqueza en lugar de $S_{t}$ que es el activo de riesgo?

Por cierto, hacen uso de la fórmula

\begin{align} M_{t} = \exp{\left\lbrace \int_{0}^{t} \left[ -\gamma \alpha_{u} \sigma(Y_{u}) dW_{u}^{1} - \dfrac{1}{2} \gamma^{2} \alpha_{u}^{2} \sigma^{2}(Y_{u})du\right] \right\rbrace} \end{align} que es una martingala.

Agradecería mucho cualquier pista o referencia sobre cómo deducir esta fórmula. Gracias de antemano.

Answer 1

Al invertir la cantidad de $\alpha_t$ en el momento $t$ en el activo de riesgo, la riqueza viene dada por \begin{align*} X_t = \frac{\alpha_t}{S_t} S_t, \end{align*} donde $\frac{\alpha_t}{S_t}$ son las unidades del activo de riesgo. Para $\Delta$ suficientemente pequeño, la riqueza en el momento $t+\Delta$ se convierte en \begin{align*} X_{t+\Delta} = \frac{\alpha_t}{S_t} S_{t+\Delta}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} X_{t+\Delta}-X_t &= \frac{\alpha_t}{S_t}\left(S_{t+\Delta} - S_t\right)\\ &\approx \frac{\alpha_t}{S_t} S_t \Big(\mu(Y_t) \Delta + \sigma(Y_t)\big(W_{t+\Delta}^1 - W_t^1\big) \Big). \end{align*} Eso es, \begin{align*} dX_t = \alpha_t\Big(\mu(Y_t) dt+ \sigma(Y_t)dW_t^1 \Big). \end{align*}