Llamada digital bajo la dinámica de Ornstein-Uhlenbeck

Question

Estoy tratando de fijar el precio de una opción digital con pago $\mathbb{I}_{S_T>K}$ , donde $S_t$ sigue la dinámica de Ornstein-Uhlenbeck $\mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}_t$ en la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ . He conseguido calcular que $\mathrm{d}(\mathrm{e}^{-rt}S_t)=\sigma\mathrm{e}^{-rt}\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}_t$ por lo que la distribución condicional es

$$\mathrm{e}^{-rT}S_T|\mathrm{e}^{-rt}S_t\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})\right).$$

Por lo tanto, asumiendo que mis cálculos tienen sentido, el valor de mi opción digital es

\begin{align*} V(t,S_t) &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\mathbb{I}_{S_T>K}\\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(X_T-Y_T>K|\mathcal{F}_t\right)\\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(\mathrm{e}^{-rT}(X_T-Y_T)>K\mathrm{e}^{-rT}\Big|\mathcal{F}_t\right)\\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\mathbb{Q}\left(Z>\frac{K\mathrm{e}^{-rT}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})}}\Big|\mathcal{F}_t\right)\\ &=\mathrm{e}^{-r(T-t)}\Phi\left(\frac{-K\mathrm{e}^{-rT}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}(\mathrm{e}^{-2rt}-\mathrm{e}^{-2rT})}}\right). \end{align*}

Sin embargo, en el límite $t\to T$ Parece que no consigo $V(t,S_t)\to\mathbb{I}_{S_T>K}$ a.s., ¿en qué me he equivocado?

Answer 1

El problema parece ser que has olvidado la media del proceso.

---

Si $ds_t = rs_tdt + \sigma dW_t^\mathbb Q$ entonces la solución de la SDE viene dada por $$s_T = s_te^{r(T-t)} + \sigma\int_t^Te^{r(T-u)}dW^\mathbb Q_u.$$ Como la última integral es gaussiana, la distribución del precio final viene dada por $$s_T \sim\mathrm N\left(s_te^{r(T-t)}, \frac{\sigma^2}{2r}\left[e^{2r(T-t)}-1\right]\right).$$

Ahora, para la opción digital, esto se traduce en $$ V(t,s_t) = e^{-r(T-t)}\mathbb Q\left[s_T>k\right] = e^{-r(T-t)}\Phi\left[\frac{s_te^{r(T-t)} - k}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left[e^{2r(T-t)}-1\right]}}\right], $$ donde utilicé ese $\Phi(x) = 1 - \Phi(-x)$ .

En particular, cuando $t\to T$ el argumento de $\Phi$ divergirá a $\pm\infty$ dependiendo del signo de $s_t - k$ lo que significa que $V(t,s_t)\to 1_{\left\{s_t>k\right\}}$ .