¿Cómo explica el modelo de 3 factores de Fama y French la covarianza de las acciones?

Question

¿Lo hace en absoluto? Si es así, ¿cómo?

Se entiende que el tamaño y el valor desempeñan un papel en la determinación de los rendimientos y se han propuesto explicaciones al respecto, pero ¿qué ocurre con la covarianza?

Answer 1

Se me ocurren dos maneras de responder a esta pregunta. En primer lugar, y creo que esto es lo que estás preguntando, "¿cuál es la estructura de covarianza de dos activos bajo la Modelo Fama-French de 3 factores ?" Considere dos activos $i$ y $j$ .

Comencemos con sus rendimientos bajo el modelo de factores Fama-French: $$ r_{i,t} = \alpha_{i} + \beta_{1,i} MKT_{t} + \beta_{2,i} HML_{t}+ \beta_{3,i}SMB_{t} + \epsilon_{i,t}$$ $$ r_{j,t} = \alpha_{j} + \beta_{1,j} MKT_{t} + \beta_{2,j} HML_{t}+ \beta_{3,j}SMB_{t} + \epsilon_{j,t}$$ Bajo los supuestos de la configuración del modelo factorial:

1. $Cov(\epsilon_{j,t}, \epsilon_{i,t}) = 0$
2. $E[\epsilon_{j,t}]=E[\epsilon_{i,t}]=0$
3. $Var(\epsilon_{k,t})=\sigma^2_{\epsilon_{k}}, \forall k $
4. $Var(MKT_{t})=\sigma^2_{M}$
5. $Var(HML_{t})=\sigma^2_{H}$
6. $Var(SMB_{t})=\sigma^2_{S}$
7. La covarianza de dos factores es $Cov(F_{k},F_{\ell})=\sigma_{k,\ell}$ para $k\neq\ell$
8. Todas las alfas y betas son constantes

Ahora vamos a estimar la covarianza de los rendimientos cuando $i\neq j$ :

$$ Cov(r_{i,t}, r_{j,t}) = Cov(\alpha_{i} + \beta_{1,i} MKT_{t} + \beta_{2,i} HML_{t}+ \beta_{3,i}SMB_{t}, \\ \alpha_{j} + \beta_{1,j} MKT_{t} + \beta_{2,j} HML_{t}+ \beta_{3,j}SMB_{t} + \epsilon_{j,t})$$ Recordemos que $ Cov(aX+bY,cW+dZ) = \\ ac \cdot Cov(X,W) + bc \cdot Cov(Y,W)\\ + ad \cdot Cov(X,Z) + bd \cdot Cov(Y,Z)$

Estos supuestos implican que $$ Cov(r_{i,t}, r_{j,t}) = \beta_{i,1} \beta_{j,1} \sigma^2_{M} + \\ \beta_{i,1} \beta_{j,2} \sigma_{M,H} + \\ \beta_{i,1} \beta_{j,3} \sigma_{M,S} + \\ \beta_{i,2} \beta_{j,1} \sigma_{M,H} + \\ \beta_{i,2} \beta_{j,2} \sigma^2_{H} + \\ \beta_{i,2} \beta_{j,3} \sigma_{H,S} + \\ \beta_{i,3} \beta_{j,1} \sigma_{M,S} + \\ \beta_{i,3} \beta_{j,2} \sigma_{H,S} + \\ \beta_{i,3} \beta_{j,3} \sigma^2_{S} \\ = \beta_{i,1} \beta_{j,1} \sigma^2_{M} + \beta_{i,2} \beta_{j,2} \sigma^2_{H} + \beta_{i,3} \beta_{j,3} \sigma^2_{S} + (\beta_{i,1} \beta_{j,2} + \beta_{i,2} \beta_{j,1}) \sigma_{M,H} + (\beta_{i,1} \beta_{j,3} + \beta_{i,3} \beta_{j,1}) \sigma_{M,S} + (\beta_{i,2} \beta_{j,3} + \beta_{i,3} \beta_{j,2} ) \sigma_{H,S} $$ Y un $Var(r_{k}) = $ $$ \beta_{k,1}^2 \sigma^2_{M} + \beta_{k,2}^2\sigma^2_{H} + \beta_{k,3}^2 \sigma^2_{S} + 2\beta_{k,1} \beta_{k,2} \sigma_{M,H} + 2\beta_{k,1} \beta_{k,3} \sigma_{M,S} + 2\beta_{k,2} \beta_{k,3} \sigma_{H,S} + \sigma^2_{\epsilon_{k}}$$

La pregunta alternativa podría ser "por qué los activos seguirían el proceso de generación de datos que se encuentra en Fama-French". No estoy seguro de que haya una buena respuesta a eso. Los modelos de factores son bonitos y convenientes, y Fama y French desarrollaron los suyos para responder a la observación de que, históricamente, los valores de pequeña capitalización y los valores con una elevada relación libro-mercado han tenido un rendimiento superior. Ese no era realmente un argumento teórico, aunque probablemente sea posible escribir un modelo teórico en el que los precios de los activos sigan un proceso de 3 factores de Fama y French, pero no conozco ninguno. Un documento dice:

Fama y French (1993) afirman que la rentabilidad de las acciones puede describirse mediante tres factores, a saber, el mercado, el tamaño y la relación entre el capital y el mercado. Sin embargo, el modelo carece de una justificación académica bien construida de por qué el tamaño y la relación con el mercado describen las diferencias transversales en los rendimientos previstos de las acciones.

UN EXAMEN EMPÍRICO DEL MODELO FAMA-FRANCÉS EN LA INDIA

Answer 2

No está claro a qué covarianza se refiere esta pregunta.

Como en el modelo CAPM, la covarianza entre los activos se reduce a $\beta$ a través de la covarianza con el índice de mercado.

$\beta_i=\sigma_{i,M}/\sigma_M^2$

Entonces, si el CAPM es correcto, podríamos explicar la covarianza que relaciona el $\beta$ s

$\sigma_{i,j}=\beta_i*\beta_j*\sigma_M^2$

En el contexto de los modelos multifactoriales ocurre algo similar, ya que, para utilizar esos modelos, es necesario estimar $\beta$ s, o sensibilidades, relacionadas con cada uno de los factores propuestos.