Error de seguimiento ex-ante: estrategias activas y el tamaño de la matriz de covarianza

Question

La fórmula más común para el error de seguimiento ex-ante es $\sqrt{w^{T}Cw}$ , donde $w$ es un vector de ponderaciones excesivas en relación con el índice de referencia y $C$ una previsión de la matriz de covarianza. Las sumas de ambas $w_p$ (el vector de pesos de la cartera) y $w_b$ (el vector de pesos de referencia) se fijan en 1 y comparten tantas filas como $C$ .

En la literatura, el tamaño de $C$ parece limitada a la del punto de referencia.

¿Cuáles son las implicaciones, en términos de sesgo del error de seguimiento ex ante, para un inversor activo que compra acciones fuera de su índice de referencia? ¿Y cuáles son las posibles soluciones para limitarlo?

Answer 1

No hay nada en las matemáticas que diga que una cartera sólo puede poner ponderaciones distintas de cero en valores en los que el índice de referencia pone ponderaciones positivas. Así que no estoy seguro de entender tu problema.

Repaso rápido de matemáticas

Dejemos que $R$ ser un $k \times 1$ vector aleatorio que denota los rendimientos del próximo período.

Dejemos que $\mathbf{w}_b$ y $\mathbf{w}_b$ sea $k \times 1$ vectores que denotan los pesos de la cartera.

La rentabilidad de la cartera y del índice de referencia vienen dadas por: $$ r_p = R \cdot \mathbf{w}_p \quad \quad r_b = R \cdot \mathbf{w}_b$$

Si se define el error de seguimiento como la desviación estándar de la diferencia

\begin{align*} \sqrt{ \operatorname{Var}\left( r_p - r_b \right) } &= \sqrt{ \operatorname{Var}\left( \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right) \cdot R \right) } \\ &= \sqrt{ \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right)' \operatorname{Var}(R) \left(\mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b \right) } \end{align*}

Ejemplo:

Digamos que $k=2$ y tengo dos acciones, Apple y Google.

$$R = \begin{bmatrix} R_{AAPL} \\ R_{GOOG} \end{bmatrix} $$ .

Digamos que mi cartera es 100% Apple y mi referencia es Google. Por lo tanto:

$$ \mathbf{w}_p = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{w}_b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{w}_p - \mathbf{w}_b = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

Y por lo tanto el error de seguimiento viene dado por: $$ \sqrt{ \operatorname{Var}(R_{AAPL}) - 2 \operatorname{Cov}( R_{AAPL}, R_{GOOG}) + \operatorname{Var}(R_{GOOG})}$$

La calidad de mi estimación del error de seguimiento dependerá de la calidad de mi estimación de la varianza de Apple y Google y de la calidad de mi estimación de la covarianza entre ellas.

¿Qué puede salir mal?

Una amplia categoría de problemas proviene de utilizar una estimación $\Sigma$ en lugar de la verdadera matriz de covarianza $\operatorname{Var}(R)$ .

Otra fuente de problemas, quizá más sutil, proviene de la generación de pesos $\mathbf{w}_p$ directamente o indirectamente sobre la base de la estimación $\Sigma$ . Si elige las ponderaciones para minimizar el error de seguimiento basándose en la matriz de covarianza de la muestra $\Sigma$ es casi seguro que obtendrá una estimación sesgada a la baja de su verdadero error de seguimiento. Muestra de la matriz de covarianza $\Sigma$ puede tener valores propios cercanos a cero mientras que la verdadera matriz de covarianza no los tiene (de hecho, si el número de períodos de tiempo $T$ utilizado para estimar la covarianza es menor que el número de valores $N$ Esto debe ser mecánicamente cierto).

Answer 2

Como respuesta sencilla, la matriz de covarianza no debería representar sólo los activos del índice de referencia. Debe incluir el universo de activos. Por ejemplo, un índice de referencia podría ser un 60% de acciones grandes de Estados Unidos y un 40% de bonos agregados de Estados Unidos. Un gestor también podría comprar acciones de mercados emergentes. Se puede utilizar una matriz de covarianza más amplia que incluya las acciones de los mercados emergentes. El índice de referencia tendrá una exposición cero a esto, al igual que un gestor puede tener una exposición cero a los activos del índice de referencia. Como usted señala, el error de seguimiento es una función de las ponderaciones en exceso, que es la diferencia.