¿Cómo determinar el estado estacionario de este modelo?

Question

Consideremos el sistema de dos ecuaciones: $$y_t=\beta\mathbb{E}_t[y_{t+1}+\gamma\cdot z_{t+1}]$$ $$x_t=\rho x_{t+1}+y_t$$ $$z_t=(z_0-Z_t)e^{-at}+z_T$$ Determinar el estado estacionario.

El manual de soluciones dice: $$y=\frac{\beta\gamma z}{1-\beta}$$ $$x=\frac{\beta\gamma z}{(1-\beta)(1-\rho)}$$ Ahora no tengo ni idea de cómo obtener estos valores. Las hojas de clase no mencionan nada, excepto que el estado estacionario se resuelve cuando tenemos el valor del choque $z_t$ (inicial y terminal). ¿Podría alguien explicarme la derivación matemática del estado estacionario?

Answer 1

En general, un estado estacionario en tiempo discreto es aquel en que la primera diferencia es cero en algún $t=t_0$ y que siga siéndolo: $$y_t-y_{t-1}=x_t-x_{t-1}=0$$ para todos $t\geq t_0$ .

Por lo tanto, en un estado estacionario, $y_t$ y $x_t$ son constantes en algunos valores $y$ y $x$ . Así, $y=\beta(y+\gamma z)$ lo que implica $$y=\frac{\beta\gamma z}{1-\beta},$$ y $x=\rho x+y$ lo que implica $$x=\frac{y}{1-\rho}=\frac{\beta\gamma z}{(1-\rho)(1-\beta)}.$$