La relación entre el cupón y la convexidad

Question

Aquí hay tres afirmaciones:

1. Un bono con cupón más bajo presenta una duración más alta.

2. Cuanto mayor sea la tasa de cupón, menor será la convexidad de un bono. Los bonos a cupón cero tienen la convexidad más alta.

3. Dada una duración particular, la convexidad de una cartera de bonos tiende a ser mayor cuando la cartera proporciona pagos de manera uniforme a lo largo de un largo período de tiempo. Es menor cuando los pagos están concentrados alrededor de un punto específico en el tiempo.

Y tenemos la relación $$\dfrac{\Delta B}{B} = -D\Delta y + \dfrac{1}{2}C(\Delta y)^2.$$

Entiendo las tres afirmaciones anteriores como dados dos estructuras de pago de cupones con la misma madurez y el mismo principio, entonces en un punto de intersección $(y_0,B_0),$ comparamos su duración, convexidad?

Y ¿alguien puede demostrar por qué en la fórmula?

Answer 1

Solo puedo sugerir algunas formas en las que puedes demostrarlo... ya que la prueba real puede ser tediosa...

1. Esto debería ser obvio al observar cualquier versión de la fórmula de duración. Por ejemplo, http://www.investinganswers.com/financial-dictionary/bonds/duration-1288

Puedes intentar demostrar que si aumentamos M (pago de vencimiento) y disminuimos C (pago de cupón) de tal manera que P (precio) no cambie, la duración aumentará. La prueba de esto debería ser simple pero requeriría demasiada escritura para mí aquí, así que la omitiré en este post...

2. Esto es un poco más de escritura de la que quiero... creo que necesitamos derivar

nuevamente con respecto a y para mostrar esta relación. Una sugerencia que tengo es ejecutar primero una Aproximación de Series de Taylor y luego tomar la derivada para simplificar las matemáticas.

3. Podemos crear un modelo de un flujo de efectivo, supongamos que un bono da un pago durante 3 años como (x,10-2*x,x), podemos analizar el efecto marginal sobre la convexidad a medida que aumentamos/disminuimos y.