Con mi conocimiento muy limitado de la economía del desarrollo:
$\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha$ representa la proporción de la población que tiene un ingreso mayor o igual a $x$ donde $x\geq x_m>0$ y $x_m$ es la cantidad mínima de ingreso.
Ejemplo 1:
Supongamos que $\alpha\rightarrow 1$ y el ingreso mínimo en la economía es $50,000$. Podemos preguntarnos, ¿qué proporción de la población tiene un ingreso mayor o igual a $50,000$?
$$\lim_{\alpha \rightarrow 1} \left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha = \left(\frac{50,000}{50,000}\right)^1=1$$
Esto sugiere que $100\%$ de la población tiene un ingreso mayor o igual a $50,000$.
Ejemplo 2:
Supongamos que $\alpha \rightarrow 1$ y el ingreso mínimo en la economía es $50,000$. Podemos preguntarnos, ¿qué proporción de la población tiene un ingreso mayor o igual a $500,000$?
$$\lim_{\alpha \rightarrow 1}\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha = \left(\frac{50,000}{500,000}\right)^1=0.1$$
Esto sugiere que $10\%$ de la población tiene un ingreso mayor o igual a $500,000$.
La historia no termina ahí. ¿Qué pasa con $\alpha$? Debe ser el caso que $\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha$ esté acotado entre 0 y 1 (es una proporción). Como tal, debe ser el caso que $\alpha>1$. En la literatura, $\alpha$ se refiere como el Índice de Pareto. Consideremos otro ejemplo.
Ejemplo 3:
Supongamos que $\alpha=2$ y el ingreso mínimo en la economía es $50,000$. Podemos preguntarnos, ¿qué proporción de la población tiene un ingreso mayor o igual a $500,000$?
$$\left(\frac{x_m}{x}\right)^\alpha = \left(\frac{50,000}{500,000}\right)^2=0.01$$
Esto sugiere que $1\%$ de la población tiene un ingreso mayor o igual a $500,000$. A partir de esto, un $\alpha$ alto, o un alto Índice de Pareto, sugiere una pequeña proporción de individuos con altos ingresos.
¿Cuál es un valor razonable de $\alpha$? Podemos normalizar $x_m = 1$. Supongamos que queremos conocer la parte del ingreso total que reciben aquellas personas con un ingreso superior, digamos, a $\tilde{x}$. Tomamos las siguientes integrales:
$$\int_{x_m}^{\infty} x^{-\alpha} dx = \int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} dx = \frac{1}{\alpha-1}$$
$$\int_{\tilde{x}}^{\infty} x^{-\alpha} dx = \frac{\tilde{x}^{1-\alpha}}{\alpha-1}$$
Por lo tanto, la parte del ingreso total que reciben aquellas personas con un ingreso superior a $\tilde{x}$, llamémosle $q$, es la relación de las dos integrales:
$$q = \tilde{x}^{1-\alpha}$$
También queremos definir la proporción de la población de altos ingresos con un ingreso mayor que $\tilde{x}$ como $p$:
$$p = \tilde{x}^{-\alpha}$$
La siguiente pregunta lógica sería qué valor de $\alpha$ nos permite conciliar la observación empírica de que el $20\%$ de la población tiene el $80\%$ del ingreso total. Esto implica que $p=.2$ y $q=.8$.
$$q = p^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}$$
Tomando el logaritmo de ambos lados:
$$\ln(q) = \frac{\alpha-1}{\alpha}\ln(p)$$
Resolviendo para $\alpha$:
$$\alpha = \frac{\ln(p)}{\ln(p)-\ln(q)} = \frac{\ln(.2)}{\ln(.2)-\ln(.8)} = 1.16$$
Por lo tanto, un $\alpha=1.16$ es consistente con lo que se observa empíricamente. Para responder a la pregunta, $x_m$ es la cantidad mínima de ingreso y generalmente se normaliza a $1$. $\alpha$ es el Índice de Pareto que es una medida de la proporción de individuos con altos ingresos. Un $\alpha$ alto sugiere un bajo número de individuos con altos ingresos.
La transformación $L(F)$ simplemente te permite calcular qué % de la riqueza total es controlada por aquellos con un ingreso por debajo de $\tilde{x}$.
