1. Permítanme primero reconciliar la fórmula de fijación de precios de Black-Scholes con la idea de que los precios se determinan por la oferta y la demanda. Aunque no se diga explícitamente así, desde una perspectiva de equilibrio, la fórmula Black-Scholes define el único precio del riesgo que es coherente con la ausencia de arbitraje.
De hecho, se utiliza explícitamente este precio cuando se invoca el teorema de Girsanov para derivar la fórmula de fijación de precios de Black-Scholes. El proceso de martingala que se invoca en ese teorema para obtener el cambio de medida es la utilidad marginal del consumo, es su factor de descuento estocástico. Así que, implícitamente, estás modelando el resultado de oequilibrio de la oferta y la demanda con la única pregunta de "¿es un modelo lo suficientemente bueno para lo que quieres hacer?"
¿El principal interés de Black-Scholes? Es válido para toda una clase de modelos de equilibrio.
2. El marco Black-Scholes-Merton tiene la característica muy conveniente de permitirnos trabajar en el espacio de la volatilidad implícita. Es muy útil en sí mismo porque te da una unidad natural para comparar muchos contratos muy diferentes. De hecho, es una forma muy inteligente de calibrar un modelo de precios más complicado: se minimiza la diferencia al cuadrado entre las volatilidades implícitas observadas y las implícitas del modelo.
Sin embargo, no es el único uso que se le da. Christoffersen y Jacobs (2004) publicaron un artículo en Management Science en 2004 en el que demostraban que, si se adapta la estrategia de estimación/calibración a los objetivos, no es fácil superar empíricamente una versión "tramposa" de Black-Scholes. En concreto, según el teorema de Girsanov, la volatilidad bajo la medida neutral de riesgo y la física debería ser la misma para el BS, pero si no te tomas el modelo demasiado en serio, puedes forzar el ajuste del modelo a la superficie de volatilidad implícita - por ejemplo, ajustar un polinomio cuadrático en la superficie de volatilidad implícita y utilizar los valores ajustados como entradas. O puede intentar forzar el ajuste del modelo para obtener una buena cobertura minimizando una pérdida en los errores de cobertura.
En la práctica, lo que la gente hace parece ser algo que encuentra formas inteligentes de poner el número equivocado en el modelo equivocado para conseguir el trabajo. El BS tiene la ventaja de ser simple de usar, sencillo de entender y súper eficiente numéricamente hablando. Tenga en cuenta, sin embargo, que si usted está tratando de precio de las opciones a largo plazo, la sonrisa volatilidad por lo general no es tan malo. Es mucho más plana. En ese punto, BS es realmente una guía bastante buena.
3. Es de suponer que la gente se equivoca todo el tiempo.
4. El problema de las afirmaciones sobre las oportunidades de arbitraje es que en realidad son una afirmación conjunta sobre (1) una ecuación de precios y (2) la observación de que los precios observados no son los que implica la ecuación de precios. Lo que observas es que un modelo falla, pero no sabes si es porque tienes el modelo equivocado o si es porque el mercado está equivocado.
Ahora, Giglio y Kelly (2018) tienen un trabajo sobre el exceso de volatilidad para muchos tipos de valores, incluidas las opciones sobre acciones. Demuestran que las restricciones de no arbitraje implícitas en la dinámica de flujo de caja Q afín (o exponencialmente afín) en los modelos de estructura temporal se violan en todos los casos. A continuación, y de forma muy interesante, se esfuerzan por "rescatar" el no arbitraje viendo si pueden encontrar formas de explicar el resultado como un problema de mala especificación del modelo, pero no lo consiguen. Esto no significa que no se pueda hacer, pero sí que si los arbitrajes no existen, realmente no es obvio por qué.
Su conclusión final es que existe un arbitraje debido a una forma de sobrerreacción de los inversores y que este arbitraje subsiste porque intentar aprovecharlo es demasiado costoso (los costes de las transacciones, la escasa frecuencia de las operaciones y los largos periodos de tenencia hacen que la operación sea realmente inútil).
5. En primer lugar, en presencia de la no normalidad condicional en los rendimientos, la volatilidad realizada ni siquiera es una estimación válida de la volatilidad porque está contaminada por momentos superiores. Un comentario similar se aplica al VIX y a la volatilidad implícita futura (véase Martin (2017) para más detalles). En segundo lugar, suponiendo que se haga un mejor trabajo de estimación de la volatilidad para el subyacente, en algunos modelos, es teóricamente está bien usar la volatilidad bajo el proceso físico. Es el teorema de Girsanov. El problema es que no parece funcionar demasiado bien. Empíricamente, no importa cómo se ataque el problema, se encuentra que la volatilidad Q es siempre mayor que la volatilidad P. Se conocía como un rompecabezas de la volatilidad, pero ahora tenemos una explicación clara: probablemente existe una prima de riesgo de varianza negativa.
Puede obtener dicha prima de muchas maneras: 1. Volatilidad estocástica 2. Un núcleo de precios cuadrático 3. En un modelo GARCH, más de un periodo por delante; 4. En un modelo GARCH con no normalidad condicional de los rendimientos (por ejemplo, choques GED o innovaciones gaussianas inversas)
Puedes consultar Christoffersen, Elkamhi, Feunou y Jacobs (2010) para obtener detalles sobre esto, pero es muy técnico. También se puede encontrar una buena discusión sobre la prima de riesgo de la varianza en el documento de Bégin, Dorion y Gauthier (2020). En todos estos casos, es más o menos fácil demostrar que la volatilidad neutral al riesgo será, en promedio, mayor que la volatilidad física.
6. Tenga en cuenta que en todos los casos que he mencionado anteriormente, se puede tener una prima de riesgo de varianza negativa (es decir, la volatilidad Q es mayor que la volatilidad P) y todos ellos imponen el no arbitraje. Para el tema de los practicantes, tu comentario es correcto y tú mismo has encontrado la solución: si creen en su modelo. La respuesta es que nadie lo sabe.
