Deducción de la función de Coste Total

Question

$MC = (TC)'(q) = 3q^2 - 40q+220, \quad where \quad 1 \leq q \leq 20$

La tarea consiste en deducir una función de $TC$ si para la producción del primer artículo necesitamos 291 unidades monetarias, y para escribir el valor del coste si $q$ = 8 unidades.

He descubierto que $TC = q^3-20q^2+220q$ pero no puedo entender cómo utilizar esas 291 unidades monetarias para encontrar el valor de coste.

Answer 1

El coste total fue de 291 u.m. por 1 unidad dada $MC(q) \equiv \frac{dC(q)}{q} = 3 q^2 - 40 q + 220$ .

En primer lugar, el área bajo el Coste Marginal da el Coste Variable Total, $TVC(q)$ . Para hallar esta superficie, integraremos el Coste Marginal:

$$\begin{align} TVC(q) &= \int_0^q\frac{dTVC(q)}{dq} dq = \int_0^q (3q^2 - 40 q + 220) dq\\ &= \left. \left(q^3 -20q^2 +220q \right) \right|_q - \left. \left(q^3 -20q^2 +220q\right) \right|_0\\ &= {q^3 -20q^2 +220q} \end{align}$$ Ahora, hay que utilizar la información adicional de 291 u.m. para hallar el Coste Fijo. El Coste Total es igual al Coste Variable más el Coste Fijo (que no depende de q): $$\begin{align} TC(1) = TVC(1) + FC &= 291\\ 1^3 -20 \cdot 1^2 + 220 \cdot 1 + FC &= 291\\ FC &= 90 \end{align}$$

Por lo tanto, para las 8 unidades: $$\begin{align} TC(8) = TVC(8) + FC &= 8^3-20 \cdot 8^2 + 220 \cdot 8 + 90\\ &= 1082 \end{align}$$