Efecto del parámetro exógeno en los beneficios del SPNE de tres jugadores

Question

Considere tres agentes $A_i$ .

• $A_1$ se mueve primero y selecciona $0\leq q_1\in \mathbb{R}$ . $A_2$ se mueve en segundo lugar y selecciona $0\leq q_2\in \mathbb{R}$ . $A_3$ se desplaza en tercer lugar y selecciona $0\leq p_1\in \mathbb{R}$ y $0\leq p_2\in \mathbb{R}$ . $0\leq x\in \mathbb{R}$ es un parámetro.
• $A_1$ trata de maximizar $u_1(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ con $\frac{\partial u_1(q_1,p_1, q_2,p_2, x)}{\partial q_1}\geq 0$ y $\frac{\partial u_1(q_1,p_1, q_2,p_2, x)}{\partial p_1}\geq 0$ e independiente de $q_2,p_2,x$ . $u_1(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ es continua en todas sus entradas.
• $A_2$ trata de maximizar $u_2(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ con $\frac{\partial u_2(q_1,p_1, q_2,p_2, x)}{\partial q_2}\geq 0$ y $\frac{\partial u_2(q_1,p_1, q_2,p_2, x)}{\partial p_2}\geq 0$ e independiente de $q_1,p_1,x$ . $u_2(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ es continua en todas sus entradas.
• $A_3$ trata de maximizar $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ con $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ aumentando para todos $p_1<\bar{p}$ y disminuyendo para todos $p_1\geq \bar{p}$ ; $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ disminuye en $x$ y $q_1$ y $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2\rightarrow \infty, x)=-\infty$ ; $u_3(q_1,p_1, q_2\rightarrow \infty,p_2, x)=-\infty$ . $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ es continua en todas sus entradas, pero no sabemos más sobre sus propiedades para $p_2,q_2$ .
• Suponemos que en caso de que un agente sea indiferente entre dos o más estrategias, existe una regla de decisión que selecciona exactamente una de estas estrategias. Estas reglas son conocidas por todos los agentes.

La existencia de un único SPNE es bastante clara. Sin embargo, podría haber otros múltiples equilibrios que condujeran al mismo perfil de beneficios (concretamente, equilibrios en los que cada agente obtiene los mismos beneficios).

Pregunta: En $A_3$ El beneficio de la empresa disminuyó en $x$ ? En caso afirmativo, ¿por qué? Si no es así, ¿hay algún supuesto fácil que necesitemos para $u_3(q_1,p_1, q_2,p_2, x)$ comportamiento con respecto a $q_2,p_2$ ? (Creo que me pierdo el bosque por los árboles) ¿La suma de los beneficios de todos los agentes disminuye en $x$ ?

Mi intuición inmediata es que sí, porque si no $A_3$ podría trasladar todas sus "pérdidas" a los demás agentes.

Answer 1

Resolvamos por inducción hacia atrás.

1. En la etapa 3, el jugador $A_3$ resuelve: $$ \max_{p_1, p_2} u_3(p_1, p_2, q_1, q_2, x). $$ Dados los supuestos, $A_3$ se establecerá: $p_1 = \overline{p}$ y en general $p_2$ será una función del $q_1, q_2$ y $x$ , denotado por $p_2(q_1, q_2, x)$ . Para que exista una solución, hay que suponer que $u_3$ no es ilimitado en $p_2$ .

2. Como $u_2$ es independiente de $p_1, q_1, x$ En la etapa 2, el jugador $A_2$ resuelve: $$ \max_{q_2} u_2(q_2, p_2(q_1, q_2, x)). $$ $u_2$ está aumentando en $q_2$ y $p_2$ . Si $p_2(q_1, q_2, x)$ está aumentando en $q_2$ entonces $A_2$ se fijará $q_2$ tan grande como sea posible, por lo que no existe una solución óptima. De lo contrario, podría haber algún nivel óptimo de $q_2$ , digamos que $q_2(q_1, x)$ .

3. En la fase 1, el jugador $A_1$ resuelve: $$ \max_{q_1} u_1(q_1, \overline{p}). $$ Como $u_1$ está aumentando en $q_1$ probablemente no habrá solución a esto. Así que es probable que este problema no tenga límites. Si suponemos que $q_1 \le \overline{q}_1$ para algún valor fijo $\overline{q}_1$ entonces $A_1$ se fijará $q_1 = \overline{q}_1$ .

Volviendo a la utilidad del jugador 3, vemos por tanto, después de sustituir $$ u_3 = u_3(\overline{p}, p_2(\overline{q}_1, q_2(\overline{q}_1, x),x), \overline{q}_1, q_2(\overline{q_1}, x), x). $$ Parece que el cambio en $u_3$ debido a un cambio en $x$ es ambigua. Como también influye la elección óptima de $q_2$ (del jugador $A_2$ ), y $p_2$ del jugador $A_3$ .