Cambio de la fórmula del Numerario

Question

El cambio general de la fórmula de Numeraire da la siguiente derivada de Radon-Nikodym:

$$ \frac{dN_2}{dN_1}(t)|\mathcal{F}_{t_0}=\frac{N_1(t_0)N_2(t)}{N_1(t)N_2(t_0)} $$

Soy capaz de derivar este Radon-Nikodym para ejemplos específicos, como el cambio de la medida de riesgo neutro $Q$ a la medida T-Forward asociada a un bono de cupón cero $P(t_0,t)$ : en este caso, tenemos bajo $Q$ :

$$ \frac{S_0}{N_Q(t_0)=1}=\mathbb{E}^Q\left[\frac{S_t}{N_Q(t)=e^{rt}}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$

Pues eso:

$$ (i) S_0 = \mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)=1}{N_Q(t)=e^{rt}}|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$

Bajo el numerario del bono T-forward:

$$ \frac{S_0}{N_{P}(t_0)=P(t_0,t)}=\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)=1}|\mathcal{F}_{t_0}\right]$$

Pues eso:

$$(ii) S_0 = P(t_0,t)\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)=1}|\mathcal{F}_{t_0}\right]$$

Igualando (i) a (ii) obtenemos:

$$\mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)}{N_Q(t)}|\mathcal{F}_{t_0}\right]=N_P(t_0)\mathbb{E}^{P_t}\left[\frac{S_t}{N_P(t)}|\mathcal{F}_{t_0}\right]$$

Desde $N_P(t)$ en el momento $t$ es por definición constante (igual a uno), es fácil sacarlo de la expectativa y agrupar todos los términos numéricos en el LHS, de manera que

$$ \mathbb{E}^Q\left[S_t\frac{N_Q(t_0)N_P(t)}{N_Q(t)N_P(t_0)}|\mathcal{F}_{t_0}\right]=\mathbb{E}^{P_t}\left[S_t|\mathcal{F}_{t_0}\right] $$

Y el resultado que sigue es la inspección.

Nota en general, el numerario $N_2(t)$ no sería una constante en el momento $t$ como es el caso del numerario asociado al bono con vencimiento en T. Por lo tanto, no sería posible tomar $N_2(t)$ fuera de la expectativa $\mathbb{E}_{t_0}^{N_2}[]$ como en el caso anterior. Por lo tanto, no sería tan sencillo agrupar todos los términos numéricos y Deducir la derivada de Radon-Nikodym por inspección.

Pregunta : ¿Cómo se puede cambiar la fórmula Numeraire Radon-Nikodym derivado ¿o se demuestra en el caso general? (no pensando en numeraires específicos como en el caso anterior).

Answer 1

Trabajamos en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{N},\mathfrak{F})$ con filtración $(\mathfrak{F}_t)_{0\leq t\leq T}$ y $\mathfrak{F}_T:=\mathfrak{F}$ . Sea $\xi$ ser un $\mathfrak{F}_T$ -Cuando se trata de un crédito contingente y mesurable, y $N_t$ y $M_t$ dos activos con precios positivos. Suponemos que el proceso $M_t/N_t$ es una martingala bajo la medida de probabilidad $\mathcal{N}$ . Definir para $0\leq t\leq T$ el proceso: $$Z_t:=E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{N_0M_T}{N_TM_0}\right|\mathfrak{F}_t\right) = \frac{N_0M_t}{N_tM_0}$$ Observamos que $E^\mathcal{N}(Z_t)=1$ para todos $t$ por la propiedad martingala. Por tanto, la variable aleatoria $Z:=Z_T$ es una derivada de Radon-Nikodym válida y $Z_t$ su proceso asociado: $$Z_t=\left.\frac{d\mathcal{M}}{d\mathcal{N}}\right|_{\mathfrak{F}_t}$$ Podemos definir una nueva medida de probabilidad $\mathcal{M}$ de la siguiente manera: $$\mathcal{M}(E):=\int_EZ(\omega)d\mathcal{N}(\omega)=E^\mathcal{N}(1_{E}Z)$$ Ahora defina el $\mathfrak{F}_T$ -variable aleatoria medible: $$Y:=\frac{\xi}{M_T}$$ Según el lema 5.2.2 de Shreve (2004): $$\begin{align} \tag{1} E^\mathcal{M}\left(\left.Y\right|\mathfrak{F}_t\right) & = \frac{1}{Z_t}E^\mathcal{N}\left(\left.YZ_T\right|\mathfrak{F}_t\right) \\[6pt] & = \frac{1}{E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{M_T}{N_T}\right|\mathfrak{F}_t\right)} E^\mathcal{N}\left(\left.\frac{\xi}{N_T}\right|\mathfrak{F}_t\right) \end{align}$$ Eso es: $$\begin{align} M_tE^\mathcal{M}\left(\left.\frac{\xi}{M_T}\right|\mathfrak{F}_t\right) =N_tE^\mathcal{N}\left(\left.\frac{\xi}{N_T}\right|\mathfrak{F}_t\right) \end{align}$$ Como adición, observe que podemos hacer la siguiente construcción basada en la ecuación $(1)$ : $$ \left.\frac{d\mathcal{M}}{d\mathcal{N}}\right| _{\mathfrak{F}_t}^{\mathfrak{F}_T} := \frac{N_tM_T}{N_TM_t} = \frac{N_tM_0}{N_0M_t}\frac{N_0M_T}{N_TM_0} = \frac{Z_T}{Z_t} $$