Modelo comercial de Heckscher-Ohlin con preferencias no homotéticas

Question

$U^j = \prod^N_i \left(d^j_i-\bar{d}_i\right)^\oint$

donde $d^j_i$ es el consumo per cápita del bien $i$ en cualquier país $j$ ; $\bar{d}_i \geq 0$ denota el consumo mínimo de cada bien $i$ que son iguales en todos los países; $\displaystyle \sum_i \oint_i^j =1$ . Suponiendo que la renta per cápita $I^j$ es lo suficientemente grande como para permitir el consumo mínimo. Deduzca la demanda per cápita de cada bien $i$ en el país $j$ .

Entiendo que la notación pi-producto significa que es una función producto, pero ¿cómo diferenciamos una función producto como ésta? Yo defino mi $I^j$ como $p_i d_i^j$ No estoy seguro de que esto sea correcto. Su ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano :)

Answer 1

$I^j$ es sólo una constante conocida (es decir, no sabemos nada sobre la producción, que generaría endógenamente la cantidad de renta per cápita), pero como sugieres la restricción presupuestaria para el consumidor es que $\sum_i p_i d_i^j \leq I^j$ (aquí se puede suponer que esto se mantiene con igualdad).

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $d_i^j < \bar{d}_i$ entonces la función de utilidad será negativa. Por lo tanto, si tenemos ingresos suficientes para permitirnos el consumo mínimo (es decir $\sum_i p_i \bar{d}_i \leq I^j$ ), para evitar este resultado el consumidor comprará al menos $d_i^j \geq \bar{d}_i$ unidades de cada bien. Por lo tanto, si definimos $x_i^j \equiv d_i^j-\bar{d}_i$ sabemos que $x_i^j \geq 0$ .

Con esta reformulación, podemos reescribir esto Piedra-guarnición función de utilidad como Cobb Douglas función de utilidad, es decir $U^j = \prod_{i=1}^N (d_i^j - \bar{d}_i)^{\varphi_i}=\prod_{i=1}^N (x_i^j)^{\varphi_i}$ . Entonces, para resolver el consumo óptimo de $x_i^j$ se puede resolver el consumo óptimo con una función de utilidad de Cobb Douglas con una nueva renta de $\bar{I}^j \equiv I^j - \sum_i p_i \bar{d}_i$ (es decir, la renta que queda después de gastarla en el nivel mínimo de consumo de cada bien). Una vez que se tiene el óptimo $x_i^j$ el nivel óptimo de consumo del bien (incluido el mínimo) es $d_i^j = x_i^j+\bar{d}_i$ .