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Discretización del proceso de Wiener

El proceso de Wiener $(W_t)$ es un proceso estocástico continuo que cumple con las siguientes tres condiciones:

  1. $W_0 = 0$,
  2. los incrementos $\mathrm{d}W_t = W_{t + \mathrm{d}t} - W_t$ están distribuidos normalmente con media $0$ y varianza $\mathrm{d}t$,
  3. los incrementos son mutuamente independientes, es decir, $\mathrm{d}W_i$ es independiente de $\mathrm{d}W_j$ para todo $i$ diferente de $j$.

Ahora quiero discretizar el proceso de Wiener para simularlo como se describe al principio de "Una introducción algorítmica a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas" por Higham (2001).

  • Primero, debo discretizar el intervalo de tiempo $[0,T]$ en $N$ subintervalos de longitud igual $\delta_t = \frac{T}{N}$. De esta manera, cada uno de los $N+1$ instantes de tiempo se dan por $t_i = i \cdot \delta_t$.
  • Luego, en cada instante de tiempo $t_i$, la versión discretizada del proceso de Wiener es \begin{align*} W_i = W_{i-1} + \mathrm{d}W_{i-1}, \end{align*} donde $\mathrm{d} W_{i-1}\sim N(0,\delta_t)$ y $W_0=0$.

Me gustaría entender cómo las propiedades 2 y 3 implican la fórmula de iteración anterior.

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No conozco la derivación del proceso estocástico de continuación pero me aventuraría a decir que proviene de este proceso en reversa. Es decir, se desarrolló un modelo discreto como mencionaste y luego se evaluó el límite a medida que delta t tiende a cero.

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user35546 Puntos 11

Creo que lo que se quiere decir es que el incremento del browniano entre los puntos discretos $(i-1)$ y $i$ sigue una distribución normal con media 0 y varianza igual a $\delta t$, que representa la longitud del intervalo entre los dos puntos discretos. Luego puedes escribir el incremento como $\sqrt{\delta t}$ veces un valor aleatorio normal estándar. Por lo tanto, la ecuación debe interpretarse junto con la afirmación que la sigue.

introducir descripción de la imagen aquí

Para verlo más claramente, representemos el valor aleatorio estándar como Z, entonces $Z \sim N\left(0,1\right)$ y la afirmación es que $dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z$. Una transformación lineal de una distribución normal es también normal, entonces $\sqrt{\delta t} Z$ es efectivamente normal, y su media y varianza son fáciles de calcular:

$E \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\sqrt{\delta t}E \left[Z\right]=0$

$V \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\delta t V \left[Z\right]=\delta t$

Y como $dW_j$ tiene las mismas propiedades, podemos decir que $dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z$.

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¿Puedes explicar un poco más lo que querías decir? ¡Porque todavía no lo entiendo!

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Gracias. He agregado más detalles, espero que ahora sea más claro, pero por favor avísame si alguna parte de la explicación no está clara.

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¡Gracias por haber añadido más detalles! Lo que has agregado es claro. Sin duda es cierto que dW_j es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza dt. Lo que no me queda claro es por qué puedes escribir el algoritmo recursivo dado las propiedades 2 y 3, por ejemplo, ¿dónde entra la independencia de los incrementos en la declaración?

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