El proceso de Wiener $(W_t)$ es un proceso estocástico continuo que cumple con las siguientes tres condiciones:
- $W_0 = 0$,
- los incrementos $\mathrm{d}W_t = W_{t + \mathrm{d}t} - W_t$ están distribuidos normalmente con media $0$ y varianza $\mathrm{d}t$,
- los incrementos son mutuamente independientes, es decir, $\mathrm{d}W_i$ es independiente de $\mathrm{d}W_j$ para todo $i$ diferente de $j$.
Ahora quiero discretizar el proceso de Wiener para simularlo como se describe al principio de "Una introducción algorítmica a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas" por Higham (2001).
- Primero, debo discretizar el intervalo de tiempo $[0,T]$ en $N$ subintervalos de longitud igual $\delta_t = \frac{T}{N}$. De esta manera, cada uno de los $N+1$ instantes de tiempo se dan por $t_i = i \cdot \delta_t$.
- Luego, en cada instante de tiempo $t_i$, la versión discretizada del proceso de Wiener es \begin{align*} W_i = W_{i-1} + \mathrm{d}W_{i-1}, \end{align*} donde $\mathrm{d} W_{i-1}\sim N(0,\delta_t)$ y $W_0=0$.
Me gustaría entender cómo las propiedades 2 y 3 implican la fórmula de iteración anterior.
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No conozco la derivación del proceso estocástico de continuación pero me aventuraría a decir que proviene de este proceso en reversa. Es decir, se desarrolló un modelo discreto como mencionaste y luego se evaluó el límite a medida que delta t tiende a cero.