Discretización del proceso de Wiener

Question

El proceso de Wiener $(W_t)$ es un proceso estocástico continuo que cumple con las siguientes tres condiciones:

1. $W_0 = 0$,
2. los incrementos $\mathrm{d}W_t = W_{t + \mathrm{d}t} - W_t$ están distribuidos normalmente con media $0$ y varianza $\mathrm{d}t$,
3. los incrementos son mutuamente independientes, es decir, $\mathrm{d}W_i$ es independiente de $\mathrm{d}W_j$ para todo $i$ diferente de $j$.

Ahora quiero discretizar el proceso de Wiener para simularlo como se describe al principio de "Una introducción algorítmica a la simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas" por Higham (2001).

• Primero, debo discretizar el intervalo de tiempo $[0,T]$ en $N$ subintervalos de longitud igual $\delta_t = \frac{T}{N}$. De esta manera, cada uno de los $N+1$ instantes de tiempo se dan por $t_i = i \cdot \delta_t$.
• Luego, en cada instante de tiempo $t_i$, la versión discretizada del proceso de Wiener es \begin{align*} W_i = W_{i-1} + \mathrm{d}W_{i-1}, \end{align*} donde $\mathrm{d} W_{i-1}\sim N(0,\delta_t)$ y $W_0=0$.

Me gustaría entender cómo las propiedades 2 y 3 implican la fórmula de iteración anterior.

Answer 1

Creo que lo que se quiere decir es que el incremento del browniano entre los puntos discretos $(i-1)$ y $i$ sigue una distribución normal con media 0 y varianza igual a $\delta t$, que representa la longitud del intervalo entre los dos puntos discretos. Luego puedes escribir el incremento como $\sqrt{\delta t}$ veces un valor aleatorio normal estándar. Por lo tanto, la ecuación debe interpretarse junto con la afirmación que la sigue.

Para verlo más claramente, representemos el valor aleatorio estándar como Z, entonces $Z \sim N\left(0,1\right)$ y la afirmación es que $dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z$. Una transformación lineal de una distribución normal es también normal, entonces $\sqrt{\delta t} Z$ es efectivamente normal, y su media y varianza son fáciles de calcular:

$E \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\sqrt{\delta t}E \left[Z\right]=0$

$V \left[\sqrt{\delta t} Z \right]=\delta t V \left[Z\right]=\delta t$

Y como $dW_j$ tiene las mismas propiedades, podemos decir que $dW_j \sim \sqrt{\delta t} Z$.