estrategia mixta que asigna un peso positivo a una estrategia pura que está dominada

Question

Este problema es de Fernando Vega Redondo(Economía y teoría de los juegos)

Ejercicio 2.1 Sea G un juego en forma estratégica. Demostrar que, para cada jugador $i\in N$ , cada estrategia mixta $\sigma_{i}\in \Sigma_{i}$ que asigna un peso positivo a una estrategia pura $s_{i}\in S_{i}$ que es dominada puede ser siempre mejorada por otra estrategia $\sigma_{i}'$ .

Esto es si $s_{i}\in S_{i}$ está fuertemente dominado para algunos $\sigma_{i}$$ \N - En \N - Sigma$ con $\sigma_{i}(s_{i})>0$ , $\exists$ $\sigma_{i}'\in \Sigma_{i}$ tal que $\forall$$ s_{-i}in S_{-i} $$: \pi_{i}(\sigma_{i}',s_{-i})>\pi_{i}(\sigma_{i},s_{-i})$ .

P1: ¿por qué dicen que la afirmación es obvia?

*Me gustaría saber si alguien puede decirme cómo construir esa estrategia mixta que domina a la estrategia que asigna probabilidad positiva, ya que no me resulta obvio.

Gracias.

Answer 1

El respuesta corta es que una estrategia mixta $\sigma_i$ que utiliza con probabilidad positiva una estrategia pura dominada $s_i$ siempre se puede mejorar excluyendo $s_i$ de su soporte de mezcla y redistribuyendo su "peso de probabilidad" a una de sus estrategias dominantes.

Más formalmente Supongamos que la estrategia $s_i'$ domina $s_i$ (puede pensar en $s_i'$ como puro o mixto estrategia en sí, esto no supone ninguna diferencia para el argumento; para simplificar supongo que $s_i'$ es una estrategia pura), es decir $\forall s_{-i}\in S_{-i}: \pi(s_i',s_{-i})>\pi(s_i,s_{-i})$ .

Además, supongamos que la estrategia $\sigma_i$ estrategia de juego $s_i$ con probabilidad positiva $p_{s_i}\in(0,1)$ . Construir la estrategia $\sigma_i'$ de la siguiente manera: idéntica a $\sigma_i$ pero sustituye $s_i$ con $s_i'$ , es decir, jugar $s_i$ con probabilidad 0 y jugar $s_i'$ con probabilidad (adicional) $p_{s_i}$ .

Por linealidad de la función de pago tienes, $\forall s_{-i}\in S_{-i}$ : $$ \pi(\sigma_i',s_{-i})=p_{s_i}\pi(s_i',s_{-i}) + (1-p_{s_i})\pi(\Lambda_i,s_{-i}) > p_{s_i}\pi(s_i,s_{-i}) + (1-p_{s_i})\pi(\Lambda_i,s_{-i}) = \pi(\sigma_i,s_{-i}) $$ donde $\Lambda_i$ en términos generales, denota la combinación residual de estrategias jugadas en $\sigma_i$ , además de $s_i$ heredado por $\sigma_i'$ también.