Combinación equivalente de puts

Question

Supongamos que una determinada acción vale actualmente $S_0=\$ 61$ . Considere un inversor que compra una opción de compra con un precio de ejercicio igual a $K_1=\$ 55$ que cuesta $c_1=\$ 10$ compra otra opción de compra con precio de ejercicio con un precio de ejercicio igual a $K_3=\$ 65$ pagando por una llamada de este tipo $c_3=\$ 5$ y vende dos llamadas con un $K_2=\$ 60$ huelga precio, recibiendo $c_2=\$ 7$ para cada una de esas opciones de compra (suponiendo que todas las opciones tienen el mismo activo subyacente y el mismo vencimiento).

a) Presentar una combinación de puts, en lugar de calls, de tal manera que se tenga exactamente la misma ganancia que se tiene con esta combinación de calls.

b) Derivar el precio de dicho diferencial, utilizando únicamente puts.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \max(S-K, 0) = S-K + \max(K-S, 0). \end{align*} Entonces, \begin{align*} &\ \max(S-K_1, 0)+ \max(S-K_3, 0) - 2 \max(S-K_2, 0)\\ =&\ S-K_1 + \max(K_1-S, 0) + S-K_3 + \max(K_3-S, 0)\\ &\qquad -2(S-K_2) - 2\max(K_2-S, 0)\\ =&\ 2K_2 - (K_1+K_3) + \max(K_1-S, 0)+\max(K_3-S, 0)- 2\max(K_2-S, 0)\\ =&\ \max(K_1-S, 0)+\max(K_3-S, 0)- 2\max(K_2-S, 0). \end{align*}

Answer 2

Asumiré que las tasas son 0, así que cualquier $\text{Call}=\text{Put}+S-K$ por lo que al final hay que tener $p_1+p_3-2p_2$ , teóricamente

Answer 3

Para un vencimiento determinado, dados tres strikes de opciones igualmente espaciados $K_1,K_2,K_3$ una combinación de "mariposa" consiste en vender 2 de las llamadas del strike medio y comprar una de las llamadas del "ala" o laterales. Esta posición tiene un coste positivo, es decir $c_1+c_3-2 c_2 >=0$ (¿por qué? porque tiene una recompensa positiva para $S_T\approx K_2$ y cero en el resto).

En el ejemplo dado tenemos $10+5-2*7=1>=0$

Se puede demostrar (Gordon ya lo ha demostrado más arriba) que se puede obtener la misma ganancia con puts: Se ponen en corto dos de las puts del strike medio y se compra una de las puts del ala. Al no haber arbitraje, el coste $p_1+p_3-2 p_2$ será el mismo que el coste con las llamadas que encontramos arriba.

Sin embargo, en general $p_1\ne c_1,p_2\ne c_2,p_3\ne c_3$ . Si suponemos que los tipos de interés son nulos (como mostró Zumba más arriba) tendremos $p_i=c_i-S_0+K_i$ en su lugar (por la paridad Put Call).

Si el ejemplo dado tenemos $p_1=10-61+55=4$ , $p_2=7-61+60=6$ , $p_3=5-61+65=9$ . Obsérvese que los precios de las llamadas $10,7,5$ disminuyen con la huelga, mientras que los precios de las opciones de venta $4,6,9$ están aumentando en la huelga. Sin embargo, $p_1+p_3-2 p_2=4+9-2*6=1$ es el mismo que el coste que encontramos con las llamadas. Todo como se esperaba.

Espero que esto aclare algunas cosas. (Nótese que no es necesario invertir el signo de las posiciones, si comprar $c_i$ también comprar (no vender ) $p_i$ ).

---

¿Y si los tipos de interés son distintos de cero? Entonces tenemos $p_i=c_i-S_0+PV(K_i)$ . Así que $$p_1+p_3-2 p_2=c_3+c_1-2c_2-S_0-S_0+2S_0+PV(K_1)+PV(K_3)-2PV(K_2)$$ Porque $K_2=(K_1+K_3)/2$ tenemos $2 PV(K_2)= PV(K_1)+PV(K_3)$ . Simplificando lo anterior tenemos que $$p_1+p_3-2 p_2=c_1+c_3-2 c_2$$ Por lo tanto, la igualdad de costes de la mariposa de venta y de la mariposa de compra es cierta en general, para cualquier nivel de tipo de interés.