Problema de Martingala en un paseo aleatorio sesgado

Question

Me cuesta entender la propiedad martingala de la exponencial de un paseo aleatorio sesgado. Por ejemplo, en el siguiente problema ¿cómo verifico si lo siguiente es una martingala, submartingala o supermartingala? ¿Qué ocurre cuando p=q=1/2?

Answer 1

Es necesario especificar una filtración. En este caso la natural es:

$${\cal F}_n = \sigma(S_i | 1\leq i\leq n)$$

Esto hace que $S$ adaptado. La integrabilidad proviene de la delimitación de $X$ y $S$ .

Según los comentarios, necesitamos entonces calcular

$$E[S_{n+1}|{\cal F}_n]$$ y ver cómo se compara con $S_n$ .

Tenga en cuenta que $$E[S_{n+1}|{\cal F}_n] = E[S_{n} {\rm e}^{X_{n+1}}|{\cal F}_n]$$ $$= S_n E[{\rm e}^{X_{n+1}}|{\cal F}_n] = S_n E[ {\rm e}^{X_{n+1}}],$$

donde hemos utilizado el hecho de que $S_n$ es ${\cal F}_n$ -medible y que $X_{n+1}$ es independiente de ${\cal F}_n$ .

Así que la clave es el cálculo de la expectativa $$E[ {\rm e}^{X_{n+1}}].$$