Me cuesta entender la propiedad martingala de la exponencial de un paseo aleatorio sesgado. Por ejemplo, en el siguiente problema ¿cómo verifico si lo siguiente es una martingala, submartingala o supermartingala? ¿Qué ocurre cuando p=q=1/2?
Es necesario especificar una filtración. En este caso la natural es:
$$ {\cal F}_n = \sigma(S_i | 1\leq i\leq n) $$
Esto hace que $S$ adaptado. La integrabilidad proviene de la delimitación de $X$ y $S$ .
Según los comentarios, necesitamos entonces calcular
$$ E[S_{n+1}|{\cal F}_n] $$ y ver cómo se compara con $S_n$ .
Tenga en cuenta que $$ E[S_{n+1}|{\cal F}_n] = E[S_{n} {\rm e}^{X_{n+1}}|{\cal F}_n] $$ $$ = S_n E[{\rm e}^{X_{n+1}}|{\cal F}_n] = S_n E[ {\rm e}^{X_{n+1}}], $$
donde hemos utilizado el hecho de que $S_n$ es ${\cal F}_n$ -medible y que $X_{n+1}$ es independiente de ${\cal F}_n$ .
Así que la clave es el cálculo de la expectativa $$E[ {\rm e}^{X_{n+1}}].$$
@noisyoscillator Esto depende de la distribución de $X_{t+1}$ y no puede responderse en general.
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Hola: Es necesario calcular $E(S_{n+1} | S_{n})$ . Si eso es $S_n$ entonces $S_{n}$ es una martingala, si es mayor que $S_{n}$ entonces es una súper martingala y así sucesivamente. Es una buena práctica hacer el cálculo uno mismo utilizando la probabilidad condicional.