¿Es la combinación convexa de dos asignaciones óptimas de Pareto también óptima de Pareto?

Question

Estoy estudiando para mis calificaciones, y me encontré con esta pregunta de un examen del año anterior.

$\textbf{Question:}$

Consideremos una economía de intercambio puro de dos consumidores y dos bienes. Ambas preferencias son localmente no saturadas y convexas. Demuestre o refute la siguiente afirmación: si $(x_1,x_2)$ y $(\hat{x}_1,\hat{x}_2)$ son dos asignaciones óptimas de pareto diferentes, entonces la combinación convexa, $(\alpha x_1+(1-\alpha)\hat{x}_1,\alpha x_2+(1-\alpha)\hat{x}_2$ También debe ser pareto óptimo para cualquier $\alpha\in(0,1)$ .

Creo que la afirmación es cierta, y aquí está el trabajo para mi prueba a continuación.

$\textbf{My Proof:}$ Por la optimización de pareto de $x_i$ y $\hat{x}_i$ : $$\not\exists\; x_i^\star\; s.t.\; u_i(x_i^\star)\geq u_i(x_i)\;\forall i\; \text{and}\; u_i(x_i^\star)> u_i(x_i)\;\text{for at least one }i \;\text{or}\;u_i(x_i^\star)\geq u_i(\hat{x}_i)\;\forall i\; \text{and}\; u_i(x_i^\star)> u_i(\hat{x}_i)\;\text{for at least one }i$$ $$\implies\;u_i(\alpha x_i)\geq u_i(\alpha x_i^\star)\;\forall i\;\text{and}\;u_i((1-\alpha)\hat{x}_i)\geq u_i((1-\alpha)x_i^\star)\;\forall i$$ $$\implies\not\exists\;x_i^\star\;s.t.\;u_i(\alpha x_i^\star+(1-\alpha)x_i^\star)\geq u_i(\alpha x_i+(1-\alpha)\hat{x}_i)\;\forall i$$ $$\text{and}\;u_i(\alpha x_i^\star+(1-\alpha)x_i^\star)> u_i(\alpha x_i+(1-\alpha)\hat{x}_i)\;\text{for at least one}\;i$$ $$\implies (\alpha x_i+(1-\alpha)\hat{x}_i)\;\text{is pareto optimal}$$ $$\blacksquare$$

Esta prueba me pareció casi demasiado fácil, por lo que me pregunto si es correcta/rigurosa.

Answer 1

Para complementar la respuesta de densep, he aquí una ilustración esquemática del cuadro de Edgeworth de lo que puede salir mal. Los puntos de la línea discontinua son combinaciones convexas de los puntos óptimos de Pareto $(x_1,x_2)$ y $(\hat{x}_1,\hat{x}_2)$ pero el punto marcado no es el óptimo de Pareto.

Answer 2

Aquí $$\not\exists\;x_i^\star\; s.t.\; u_i(\alpha x_i)\geq u_i(\alpha x_i^\star)\;\forall i\;\text{and}\;u_i((1-\alpha)\hat{x}_i)\geq u_i((1-\alpha)x_i^\star)$$ $$\implies\not\exists\;x_i^\star\;s.t.\;u_i(\alpha x_i^\star+(1-\alpha)x_i^\star)\geq u_i(\alpha x_i+(1-\alpha)\hat{x}_i)$$ se supone que la función $u$ es lineal. Por desgracia, la afirmación es falsa para las funciones de utilidad no lineales. Prueba con $$ U_1(x_1,y_1) = x_1 \cdot y_1^2 \hskip 20pt U_2(x_2,y_2) = x_2^2 \cdot y_2. $$ Dada 1 unidad de $x$ y $y$ cada uno, las asignaciones $$ (x_1,y_1) = (1,1) \hskip 20pt (x_2,y_2) = (0,0) $$ y $$ (x_1',y_1') = (0,0) \hskip 20pt (x_2',y_2') = (1,1) $$ son ambos Pareto-óptimos. Sin embargo, los puntos de la conexión $x = y$ línea no lo son. Puede comprobarlo comparando $MRS_1$ y $MRS_2$ por puntos en la línea. Por lo tanto, el conjunto de Pareto no es convexo en este caso. (Es una curva que conecta las dos asignaciones extremas dadas anteriormente).

Answer 3

Otro contraejemplo: $u_1(x_1, y_1) = 2x_1+y_1$ y $u_2(x_2, y_2)= x_2+2y_2$ . Supongamos que la dotación total de $X$ y $Y$ en la economía es $(1,1)$ . Considere las dos asignaciones siguientes:

1. $(x_1, y_1) = (1,1)$ y $(x_2, y_2) = (0,0)$
2. $(x_1', y_1') = (0,0)$ y $(x_2', y_2') = (1,1)$

Ambas asignaciones son eficientes. Sin embargo, su asignación de combinación convexa $(x_1'', y_1'') = (0.5,0.5)$ y $(x_2'', y_2'') = (0.5,0.5)$ no es eficiente porque la asignación $(x_1''', y_1''') = (1,0)$ y $(x_2''', y_2''') = (0,1)$ es mejor para ambos.