¿Se conserva la dominancia estocástica de primer orden bajo el cambio de medida?

Question

Como dice el título, mi pregunta es si dominio estocástico de primer orden se conserva bajo el cambio de medida, por ejemplo del $\mathbb{P}$ medida para $\mathbb{Q}$ medida y cambio de numerario a otra medida digamos $\mathbb{Q}_N$ ?

No soy probabilista, pero creo que se conserva ya que el cambio de medida y/o numerario implica la multiplicación por una martingala exponencial que es un proceso positivo, pero si alguien puede dar una prueba formal que muestre por qué es o no invariante bajo cambio de medida sería genial.

Answer 1

Considere una moneda lanzada independientemente 10 veces. Supongamos que bajo la medida $P$ , $Pr(H)$ > 0,5 pero no igual a 1.

Dejemos que una persona neutral al riesgo reciba iterativamente la apuesta entre obtener al menos $n$ cabezas contra al menos $n$ colas. Está claro que la persona siempre elige obtener al menos $n$ cabezas. Dejemos que $X$ representan el número de cabezas y $Y$ el número de colas. Así pues, tenemos

$E(1_{X>=n})>E(1_{Y>=n})$ para todos $n$ y por lo tanto $X$ FOSD el $Y$ bajo esta medida de probabilidad.

Ahora cambia a una medida en la que $Pr'(H)< 0.5$ pero no igual a 0. Especificar las probabilidades de los sucesos conservando el supuesto de independencia. Esto es equivalente a la medida anterior, ya que todos los conjuntos de eventos que tienen una probabilidad de 0 o 1 en la primera conservan la misma probabilidad en la segunda.

Ahora considere la misma apuesta hecha a la misma persona. Ahora, ¡los signos se invierten! $E'(1_{X>=n})<E'(1_{Y>=n})$ para todos $n$ , por lo que ahora el $Y$ FOSD $X$ . Así que la afirmación es falsa.

¿Cuándo conserva la FOSD? A continuación, veremos algunos casos especiales:

1. Si los VR son tales que el mínimo de $X$ supera el máximo de $Y$ entonces el dominio estocástico se mantendrá bajo cualquier cambio de medida, porque el $Pr(w: X(w)>X_{min})=0$ y $Pr(w:Y(w)<Y_{max})=1$ bajo cualquier medida equivalente, por lo que las distribuciones vuelven a ser no intersecantes.

2. Para vehículos recreativos discretos $X$ y $Y$ una condición suficiente para la violación del orden de la FOSD es que los medios cambien de orden. Esto se debe a que la media puede escribirse como la suma de todas las $u$ de $Pr(X>=u)$ .

3. ¿Cómo puede ser la derivada de Radon-Nikodym (RND) para que no se viole la FOSD?

Por simple cambio de medida utilizando el RND $Z$ ,

$E'(1_{X>=u})=E(1_{X>=u})+cov(Z,1_{X>=u})$

y

$E'(1_{Y>=u})=E(1_{Y>=u})+cov(Z,1_{Y>=u})$

y por lo tanto basta con que: $cov(Z,1_{X>=u})>cov(Z,1_{Y>=u})$ para todos $u$ . Intuitivamente, $Z$ tiene más de $X$ en él que $Y$ o $X$ es un mejor predictor de $Z$ que $Y$ . También basta con que Z sea independiente de X e Y.