Agregación de la propiedad de cierre de un conjunto de producción

Question

Consideremos una economía con un número finito de bienes $I$ y factores $F$ . Para cada bien $i$ , dejemos que $Y_i \subset \mathbb R^I \times \mathbb R^F_{\geq 0}$ denotan un conjunto de producción para $i$ . Supongamos que cada $Y_i$ tiene rendimientos constantes a escala y para todo $(y,l)\in Y_i$ , $y_{j \neq i} \leq 0$ . Por último, denotemos por $Y \equiv \{ (\sum_{i \in I}y^i,\sum_{i \in I}l^i) \ | \ \forall i \in I, (y^i,l^i) \in Y_i\}$ el conjunto canónico de producción agregada.

Es común en la teoría de GE asumir que $Y$ está cerrado.

¿Se sabe qué condiciones en los platós $Y_i$ ¿Garantizar esto?

Para ver que no es suficiente con asumir cada $Y_i$ es cerrado, considere el siguiente contraejemplo: Hay dos bienes y un factor. Dada una unidad de trabajo, cada empresa puede producir $n + \frac{n}{n+1}$ unidades de producción por $n$ entradas del otro bien utilizado. Al tomar un límite como $n\to \infty$ para cada empresa, se puede ver que el cierre de $Y$ contiene $(y,l) = ((1,1),2)$

Answer 1

De forma más abstracta, veamos $Y_j\subseteq\mathbb{R}^n$ sea un conjunto de producción para $j=1,\ldots,m$ y que $$Y=Y_1+Y_2+\cdots+Y_N=\{y_1+y_2+\cdots+y_n|y_j\in Y_j, j=1,\ldots,m\}$$ sea el conjunto de la producción agregada. El resultado estándar sobre cuándo el conjunto de producción agregada es cerrado es el siguiente:

Teorema: Sea $Y_j$ sean conjuntos cerrados y convexos que contengan $0$ para $j=1,\ldots,m$ y asumir que $Y\cap -Y=\{0\}$ . Entonces $Y$ está cerrado.

Ahora bien, este resultado utiliza un supuesto (irreversibilidad y posibilidad de inacción) sobre el conjunto de la producción agregada, pero esto se deduce de $0$ estar en todos los conjuntos de producción y que las mercancías de entrada y salida estén separadas en su configuración. La hipótesis de que $0$ es en cada conjunto de producción individual no es necesario, pero la prueba se vuelve más complicada (aunque no fundamentalmente diferente) sin ella.

La respuesta de tdm te remite a una demostración mediante conos asintóticos. He aquí un argumento más directo:

Prueba: Sea $(y_m)\to y$ sea una sucesión convergente en $Y$ . Para cada $m$ , dejemos que $(y^1_m,\ldots,y^n_m)\in Y_1\times\ldots\times Y_n$ sea tal que $y_m=\sum_{j=1}^n y^j_m$ . Si esta secuencia está acotada, un argumento de compacidad garantiza que $y\in Y$ . Demostramos que la secuencia tiene que estar acotada. Supongamos que no. Supongamos que ninguno de los términos de esta sucesión es cero y que la norma de los términos es creciente y no acotada. Definamos una sucesión $(x^1_m,\ldots,x^n_m)$ por $x^j_m=y^j_m/\|(y^1_m,\ldots,y^n_m)\|$ . La secuencia tiene una subsecuencia convergente $(z^1_m,\ldots,z^n_m)\to(z^1,\ldots,z^n)$ porque se encuentra en la esfera unitaria compacta y $(z_1,\ldots,z^n)\in Y_1,\ldots, Y_n$ porque cada $Y_j$ es convexa y contiene $0$ . También, $\|(z^1,\ldots,z^n)\|=1$ por lo que al menos una coordenada debe ser distinta de cero. Por ejemplo $z^1\neq 0$ . Tenemos $$\sum_{j=1}^n z^j=\lim_{m\to\infty} \frac{y_m}{\|(y_m^1,\ldots,y_m^n)|\|}=0$$ porque $\|(y^1_m,\ldots,y^n_m)\|$ es ilimitada y la secuencia convergente $(y_m)$ está limitada. Así que $z^1-\sum_{j=2}^n z^j=0$ pero $z_1\in Y$ y $\sum_{j=2}^n z^j\in Y$ porque cada $Y_j$ contiene $0$ por lo que esto contradice $Y\cap-Y=\{0\}$ .

Answer 2

Para una visión completa sobre las condiciones para que la suma de conjuntos cerrados sea cerrada, véase esta nota de Kim Frontera

Conos de recesión

Trabajaré con subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ . Empecemos con algunas definiciones.

Def: Un conjunto $C$ es convexo si para $x, y \in C$ y $\alpha \in [0,1]$ , $\alpha x + (1-\alpha) y \in C$ .

Def: Un conjunto $K$ es un cono si para $x \in K$ y $\lambda \ge 0$ , $\lambda x \in K$ .

Def: En recesión cono $0^+C$ de un conjunto $C$ se define como: $$ 0^+ C = \{z \in \mathbb{R}^n| \forall x \in C, \forall \alpha \ge 0, x + \alpha z \in C\}. $$

La idea que subyace al cono de recesión es que captura todas las direcciones de ilimitación de $C$ . Por ejemplo $(1,1) \in 0^+C$ esto significa que $C$ es ilimitada en la dirección $(1,1)$ para todos $x \in C$ y todos $\alpha \ge 0$ , $x + \alpha\cdot (1,1) \in C$ .

Aquí $x + \alpha(1,1)$ es un rayo infinito (semirrecta) con pendiente 1 que comienza en $x$ . El elemento $(1,1)$ estar en $0^+C$ requiere que todas estas medias líneas (sobre todas $x \in C$ ) están en $C$ .

Ahora coge dos juegos $C_1$ y $C_2$ que están cerrados. Nos gustaría tener unas condiciones tales que $C_1 + C_2$ también está cerrado. Para ello, necesitamos que para todas las secuencias convergentes $z_n \to z$ en $C_1 + C_2$ podemos encontrar una secuencia convergente $x_n \to x$ en $C_1$ y una secuencia convergente $y_n \to y$ en $C_2$ tal que $x_n + y_n = z_n$ .

Una cosa que podría salir mal al comprobar esta condición es que, aunque $z_n = x_n + y_n$ converge tanto $x_n$ y $y_n$ van hacia el infinito en direcciones opuestas, por lo que no son convergentes. Esto podría ocurrir si los conos de recesión $0^+ C_1$ y $0^+ C_2$ contienen vectores distintos de cero que suman cero.

Por ejemplo, si $(1,1) \in O^+ C_1$ y $(-1, -1) \in 0^+ C_2$ . Entonces, para algunos $x \in C_1$ y $y \in C_2$ podemos definir: $$ z_n = \underset{x_n}{\underbrace{x + n(1,1)}} + \underset{y_n}{\underbrace{y + n(-1,-1)}} = x + y. $$ Aquí $z_n = x_n + y_n$ converge aunque ambos $x_n \equiv x + n(1,1)$ y $y_n \equiv y + n(-1,-1)$ divergir.

La siguiente definición recoge esta idea.

Def: deje $K_1, \ldots, K_n$ ser conos. Decimos que son positivamente semi-independiente si para todo $x_i \in K_i$ $$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0 \to x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0. $$

El siguiente teorema (cuya demostración omitiré, véase la nota de Frontera ) demuestra que, para conjuntos convexos cerrados, la semiindependencia positiva de los conos de recesión es efectivamente una condición suficiente.

En Sea $C_1,\ldots, C_n$ sea una colección de conjuntos convexos cerrados y no vacíos. Si los conos de recesión $0^+C_1, 0^+ C_2, \ldots 0^+ C_n$ son positivamente semi-independientes entonces $\sum_i C_i$ está cerrado.

Conjuntos de posibilidades de producción CRS

Volvamos a la pregunta. Dejemos que $Y$ sea el conjunto de posibilidades de producción de una función de producción de rendimientos constantes a escala. CRS equivale al requisito de que $Y$ es un cono. En particular: si $y \in Y$ y $\alpha \ge 0$ entonces $\alpha y \in Y$ .

Para conos convexos se cumple lo siguiente:

Th: Si $Y$ es un cono convexo no vacío, entonces $0^+ Y = Y$ .

Prueba En $Y$ es un cono, tenemos que $0 \in Y$ . Ahora, dejemos que $z \in 0^+ Y$ . Entonces para todos $x \in Y$ y todos $\alpha \ge 0$ : $x + \alpha z \in Y$ . Configuración $x = 0$ y $\alpha = 1$ da $z \in Y$ . Para la inversa, sea $z \in Y$ , $\alpha \ge 0$ y $x \in Y$ . En $Y$ es un cono, tenemos $\alpha z \in Y$ y como $Y$ es un cono convexo, tenemos que $2(\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}\alpha z) = x + \alpha z \in Y$ . En $\alpha \ge 0$ y $x$ de forma arbitraria, esto demuestra que $z \in 0^+ Y$ .

Tenemos entonces el siguiente Corolario cuya demostración se deduce de los dos teoremas anteriores.

Corr: Sea $Y_1,\ldots, Y_n$ sea un conjunto de conjuntos de posibilidades de producción cerrados, convexos y CRS. Si $Y_1, \ldots, Y_n$ son positivamente semi-independientes, entonces $Y = \sum_i Y_i$ está cerrado.

Hacia la interpretación de esta condición. Supongamos por un momento que sólo tenemos dos conjuntos de posibilidades de producción de SIR cerrados y convexos $Y_1, Y_2$ y suponer que no son positivamente semiindependientes. Esto significa que podemos encontrar $x \in Y_1$ y $y \in Y_2$ tal que $x \ne 0$ y $$ x + y = 0. $$ Esto significa que $x \in Y_1$ y $y = -x = Y_2$ . En otras palabras, podemos utilizar la primera tecnología para producir $x$ y luego, a su vez, la segunda tecnología para producir $-x$ . Intuitivamente, esto corresponde a una tecnología reversible. Por ejemplo, se utiliza mano de obra, madera y clavos para fabricar una mesa ( $x$ ) y, a continuación, puede utilizar esta tabla como insumos para recuperar los insumos originales (mano de obra, madera y clavos) ( $-x$ ). En física, esto se denomina máquina de movimiento perpetuo (que viola la primera o segunda ley de la termodinámica ). Por tanto, si se tienen en cuenta todos los insumos, los conjuntos de posibilidades de producción SIR cerrados y convexos deberían ser, en efecto, positivamente semiindependientes y su suma debería ser cerrada.

Answer 3

Para quien esté interesado, he encontrado una referencia que contiene las ideas principales de la respuesta de Michael. Véase la sección 5 de Otani (1973), "Conjuntos tecnológicos neoclásicos y propiedades de los conjuntos de posibilidades de producción".