Estrategias de puja de El precio justo

Question

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Si no está familiarizado con el juego "El precio justo", al principio se seleccionan cuatro postores que tienen que adivinar el precio de algún objeto de consumo. El que más se acerque al valor de venta al público (redondeado al dólar) sin pasarse, pasa a jugar a otro juego de precios. El juego es secuencial, por lo que se puede imaginar que pujar en último lugar proporciona una ventaja. En este artículo se estudia si los jugadores se comportan racionalmente en esta primera parte del juego, o si está limitada por alguna regla de decisión más sencilla.

El documento tiene una propuesta:

Supongamos que los concursantes tienen expectativas racionales. Entonces, en el equilibrio,

1. El cuarto postor debe ganar al menos tan a menudo como el tercer postor; y el tercer postor debe ganar al menos tan a menudo como el primer o el segundo postor.
2. El cuarto postor debe ganar al menos 1/3 de las veces.
3. El primer y el segundo postor juntos no pueden ganar más de 4/9 de las veces.

A continuación, el apéndice, en su prueba, comienza la siguiente explicación:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si un licitador cree que su probabilidad de ganar es superior a la de otro licitador, entonces, como todo licitador tiene expectativas racionales, esta creencia debe ser correcta. Por lo tanto, para demostrar que un licitador gana más a menudo que otro, basta con demostrar que cree que gana más a menudo.

Lo cual está bien.

Primero considere el último postor. Como su estrategia óptima es elegir el intervalo que cree que le da la mayor probabilidad de ganar, debe creer que lo hace al menos tan bien como cualquier postor anterior.

No entiendo esta parte de la explicación. ¿La lógica es que el último postor ofertará 1 dólar por encima de quien obtenga la mejor distribución, y entonces si alguien tuviera más posibilidades de ganar que el último postor, éste simplemente ofertaría 1 dólar por encima de esa persona?

Answer 1

Sí. Obsérvese que en el documento los autores suponen que el espacio de acción es continuo, por lo que es posible pujar en fracciones de dólar arbitrariamente pequeñas.

Supongamos que los jugadores $i\in\{1,2,3\}$ tienen ofertas $b_i$ que, sin pérdida de generalidad, se ordenan $b_1<b_2<b_3$ . Escriba $p$ por el precio real.

Si nos olvidamos por un momento del jugador cuatro, las probabilidades de ganar de los jugadores son

$$\Pr(1\text{ wins})=\Pr(b_1\leq p< b_2)\equiv \pi_1$$ $$\Pr(2\text{ wins})=\Pr(b_2\leq p< b_3)\equiv \pi_2$$ $$\Pr(3\text{ wins})=\Pr(b_3\leq p)\equiv \pi_3.$$

Supongamos que $\pi_1>\pi_2,\pi_3$ . Entonces lo óptimo para el 4 es pujar $b_4=b_1+\epsilon$ ( $\epsilon$ positivo y pequeño). Este bis resultaría en $$\Pr(1\text{ wins})=0$$ $$\Pr(2\text{ wins})=\Pr(b_2\leq p< b_3)$$ $$\Pr(3\text{ wins})=\Pr(b_3< p)$$ $$\Pr(4\text{ wins})=\Pr(b_1\leq p< b_2).$$

Se puede comprobar fácilmente que $\pi_1>\pi_2,\pi_3$ implica que $\Pr(4\text{ wins})$ es mayor que la probabilidad de ganar de cualquier rival. Asimismo, si tuviéramos $\pi_2>\pi_1,\pi_3$ entonces lo óptimo para $4$ hacer sería ofertar $b_4=b_2+\epsilon$ .

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editar: El razonamiento anterior funciona si tomamos $\pi_1>\pi_2,\pi_3$ (con desigualdad estricta). Pero, ¿y si la desigualdad no es estricta?

Supongamos que $b_1<b_2<b_3$ y que $\pi_1=\pi_2>\pi_3,\Pr(p<b_1)$ . Entonces parece que $b_4=b_1+\epsilon$ debe producir una probabilidad de ganar menor que la del jugador 2 para cualquier $\epsilon$ . de hecho tendríamos $$\Pr(b_1+\epsilon\leq p<b_2)<\Pr(b_1\leq p<b_2)=\Pr(b_2\leq p<b_3).$$ De la misma manera, $b_4=b_2+\epsilon$ tendrá una probabilidad de ganar menor que la del jugador 1 para cualquier $\epsilon$ .

Creo que, en equilibrio, esto no ocurrirá, así que supongo que el resultado está bien. Pero esto hace que la prueba parezca un poco de mano.