Inversión segmentada para obtener la misma rentabilidad mensual en cada segmento

Question

No soy un especialista en inversiones, así que disculpen las matemáticas tan básicas.

Dada una suma global, necesito distribuir esta suma global en ( x ), cada uno de los cuales dura ( y ) años (los años pueden ser diferentes para cada segmento). Cada segmento podría aplazar el pago, durante el cual ganará ( z ) durante el periodo de aplazamiento, pero una vez iniciados los pagos, ganará ( w ) durante el periodo de pago ( p ) años.

Lo que supuse es que la cantidad de dinero en el primer segmento, que no tendrá aplazamiento y empezará a pagar inmediatamente, tendrá una porción mayor de la suma global. Mientras que el último segmento, que tiene el mayor tiempo de aplazamiento, tendrá una porción menor en la suma global.

De manera muy ingenua, traté de resolver esto haciendo un promedio del número de años de aplazamiento (y), un promedio de (z), (w) y (p) - luego tomé la suma global y la dividí por (x) número de segmentos y usé ese valor para calcular un rendimiento mensual para ese valor.

Para calcular un pago:

monthly_payment = ((lump_sum / x) * (1 + z)^y) * (1 + w)^p) / (p * 12)

Me acerco mucho, pero la utilización de la suma global se desvía en un buen 5%.

He estado buscando optimización y solucionadores, pero como soy nuevo en esto, me vendría bien un poco de ayuda para que me indiquen la dirección correcta y para entender algunos de los conceptos.

¿Puede alguien darme nombres de fórmulas que puedan resolver esto o indicarme la dirección correcta?

Answer 1

No estoy 100% seguro de haber entendido su pregunta. Pero a continuación es la solución a lo que entendí de su explicar.

dejar $N_i(t)$ sea la asignación nocional al segmento i en el momento t, i = 1,..., x. Supongamos que el segmento i se aplaza durante el periodo $T^{def}_i$ durante el cual gana intereses z. Supongamos que el segmento i paga $w_i$ para el período $T^{payment}_i$ .

En el momento t = 0 (ahora) has asignado $N_i(0)$ al segmento i. Una vez finalizado el periodo de aplazamiento, el nocional habrá crecido hasta: $N_i(T^{def}_i) = N_i(0) * exp(z*T^{def}_i)$ . Esta cantidad ganará la tasa $w_i$ en el futuro.

Así que al final del segmento del contrato habré acumulado hasta $N_i(0) * exp(z*T^{def}_i) * exp(w_i*T^{payment}_i)$ . Para simplificar la notación dejemos que s defina $c_i := exp(z*T^{def}_i) * exp(w_i*T^{payment}_i)$ .

Lo que quieres es elegir $N_i(0)$ para todo i=1,...x de tal manera que al final tenemos:

$N_i(0) c_i = N_j(0) c_j$ para todos los i y j. Además tenemos la condición de que $\sum_{i=1}^x N_i(0) = lumpsum$ . Quiere resolver esto para $N_i(0)$ . Lo que hemos descrito anteriormente es un sistema lineal de la forma Ax = b. He proporcionado un ejemplo de A,x, b en caso de que el número de segmentos sea 3 sólo como ejemplo.

Con

\begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ c_1 & -c_2 & 0 \\ c_1 & 0 & -c_3 \\ 0 & c2 & -c_3 \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación} \begin{equation} x = \left( \begin{array}{c} N_1(0) \\ N_2(0) \\ N_3(0) \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación} \begin{equation} b = \left( \begin{array}{c} lumpsum\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación}

La solución de este sistema (si existe) viene dada por $x = A^{-1}b$ . los detalles sobre el álgebra matricial y demás se pueden encontrar aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(matemáticas)

(edición: añadido el enlace de la wiki)