Valoración neutral del riesgo, derivas y calibración

Question

Consideremos un modelo de precios como el de Vasicek.

Aparentemente, si se calibra un modelo de fijación de precios de derivados con los precios del mercado, se obtienen parámetros neutrales al riesgo. No me queda claro por qué esto será definitivamente neutral al riesgo. Véase aquí atmif.com/papers/rn.pdf en Market Calibration. "Muchos autores en la literatura simplemente afirman que están utilizando la medida de precios "neutral al riesgo" cuando hacen calibraciones de mercado". ¿Cómo pueden afirmar esto sin más?

Si necesitas que tu modelo de fijación de precios esté libre de arbitraje para dar una medida de neutralidad al riesgo, ¿entonces sólo necesitas un modelo que esté libre de arbitraje y luego lo calibras al mercado y ya está? Cuando se mira la literatura, se empieza con algún modelo de la dinámica subyacente y luego se aplica el teorema de Girsanov para ser neutral al riesgo. ¿Calibras la versión neutral al riesgo de tu modelo o la original al mercado?

Pensaba que para que algo fuera neutro al riesgo tenía que derivar a la tasa libre de riesgo $r dt$ (y más un $\sigma dW$ término). Sin embargo, los modelos de fijación de precios de los derivados casi siempre tienen derivas distintas de cero.

¿Qué es lo que no entiendo aquí?

Answer 1

Su pregunta tiene dos partes que intento responder por separado. La primera se refiere a lo que es realmente la calibración, mientras que la segunda pregunta se refiere a la fijación de precios neutrales al riesgo.

Como ejemplo, podemos utilizar cualquier modelo. Me refiero continuamente al modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993) como ejemplo para las opciones sobre acciones. Cualquier reflexión es igualmente aplicable a otros modelos o clases de activos (piense en los derivados de tipos de interés y en los modelos de tipos cortos). El modelo Heston para el precio de una acción $S_t$ se lee como \begin{align*} \text{d}S_t&=\mu S_t\text{d}t+\sqrt{v_t}S_t\text{d}W_S, \\ \text{d}v_t&= \kappa(\theta-v_t)\text{d}t+\xi\sqrt{v_t}\text{d}W_v, \end{align*} donde $\text{d}W_S\text{d}W_v=\rho\text{d}t$ . Así, hay cinco parámetros del modelo ( $\mu,\kappa,\theta,\xi,\rho$ ).

Estimación y calibración

La estimación encuentra la distribución real de los rendimientos de las acciones; la calibración pretende parametrizar la distribución neutral al riesgo. Para ello, la estimación utiliza observaciones históricas, mientras que el calibrado utiliza los precios de mercado observados. La estimación se utiliza habitualmente para la gestión del riesgo (por ejemplo, el valor en riesgo), mientras que la calibración se utiliza para la fijación de precios/cobertura/comercialización de derivados.

Comencemos con estimación : Tome los rendimientos históricos del índice S&P 500 y calcule la función de probabilidad (logarítmica) del modelo de Heston para encontrar los parámetros que más probablemente hayan dado lugar a la muestra dada de rendimientos de las acciones (Esto se llama estimación de máxima verosimilitud ). Una generalización es GMM que compara los momentos de muestra de los datos con los momentos implícitos en el modelo y encuentra los parámetros que minimizan la diferencia entre ambos. Intuitivamente, se buscan parámetros tales que las simulaciones del modelo produzcan trayectorias de muestra que se parezcan mucho a los datos reales que se observa en los mercados financieros. En particular, esto incluye que los precios de los activos crezcan al mismo ritmo $\mu$ que refleja el riesgo sistemático de ese activo. Podría ser un modelo de este tipo para hacer previsiones.

Pasemos a calibración : Tome los precios actuales del mercado para las opciones de compra y de venta del S&P. Utilizar la solución de forma cerrada para los precios de las opciones en el modelo de Heston, ahora se buscan parámetros del modelo que minimicen la diferencia (al cuadrado) entre los precios de mercado observados y los precios implícitos del modelo. Esta vez, no te importan los datos históricos de rentabilidad. Sólo tomas los precios de las opciones de ayer y calibras tu modelo con estos precios. Si calibra un modelo de tipos cortos, puede utilizar los precios de los bonos cero, las opciones sobre bonos, los topes, etc. La elección de los instrumentos de calibración debe coincidir con la aplicación prevista del modelo. Dado que el precio de estos instrumentos se fija mediante un marco de neutralidad al riesgo (véase más adelante), los parámetros calibrados se corresponden con el $\mathbb{Q}$ medida en la que se supone que los activos crecen a una tasa $r$ (y no $\mu$ ). Por lo tanto, ¡estos parámetros no deben utilizarse para hacer previsiones! Estos parámetros, en cambio, se utilizan para valorar otros derivados (complejos).

Hay que tener en cuenta dos puntos

• Hay dos horizontes temporales diferentes: La estimación requiere una serie temporal (larga) de rendimientos. La calibración requiere datos de precios de un solo día.

• En la práctica, hay muchos subtítulos cuando se quiere aplicar la estimación o la calibración en la práctica: ¿Cómo discretizar un modelo de tiempo continuo? ¿Qué momentos hay que ajustar para el GMM? ¿Cómo ponderar los diferentes precios del mercado? ¿Cómo limpiar los datos de las opciones? Calibrar con precios o volatilidades implícitas, etc.

Fijación de precios y distribución neutra del riesgo

La fijación de precios de las opciones se hace (casi) siempre bajo el neutral en cuanto al riesgo ( $\mathbb{Q}$ ) medida . El valor de una opción de compra de tipo europeo se calcula como el pago esperado descontado \begin{align*} C=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max\{S_T-K,0\}]. \end{align*}
La distribución de riesgo neutro ( $\mathbb{Q}$ ) es necesario para que podamos descontar al tipo libre de riesgo $r$ (en lugar de preocuparse por las primas de riesgo incrustadas $\mu$ ). La idea es que el $\mathbb{P}$ La distribución del riesgo (es decir, los movimientos reales del precio de las acciones) contiene estas primas de riesgo que son extremadamente difíciles de identificar. El marco de fijación de precios neutrales al riesgo nos permite evitar todo esto y llegar a los mismos precios de las opciones fingiendo que todos son neutrales al riesgo (fingimos que $\mu=r$ ).

El quid de la cuestión es que no necesitamos saber $\mu$ a las opciones de precio. Cuando calibramos un modelo, minimizamos la diferencia entre los precios de mercado y los precios del modelo. Estos precios modelo se calculan utilizando el marco de neutralidad al riesgo (todos los precios de las opciones lo son). Por lo tanto, sólo se recupera la distribución neutral al riesgo a partir de los precios de las opciones, véase también Breeden y Litzenberger (1978) . Pero eso no es un problema. Sólo necesitamos esa distribución neutral al riesgo para valorar los derivados.

El $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ están vinculadas a través del factor de descuento estocástico (o núcleo de precios) que no es más que una derivada de Radon-Nikodym a escala (cambio de medida mediante el teorema de Girsanov). Así, el $\mathbb{P}$ parámetros y el $\mathbb{Q}$ También se vinculan los parámetros, utilizando las primas de riesgo integradas en el núcleo de fijación de precios, véase esta respuesta . Por lo tanto, si conociéramos el verdadero SDF y el verdadero $\mathbb{Q}$ parámetros, podríamos recuperar el verdadero $\mathbb{P}$ parámetros.