Solución integral (o más sencilla) al excedente del consumidor - ¿Qué ocurre?

Question

Problema

Dada la demanda $D(p)=A-ap$ y $A,a>0$ y un precio fijo $0<p_1<A/a$ por alguna empresa.

Calcule el excedente del consumidor y su derivada con respecto a $p$ . ¿Qué es este número?

Mi solución hasta ahora

No he podido encontrar una forma sencilla de hacerlo ya que no se conoce la cantidad, $q_0$ . He calculado el excedente del consumidor como

$CS=\int_{p}^{A/a}D(p)dp=\int_{p}^{A/a}(A-ap)dp=\frac{1}{2a}(A-ap)^2=\frac{(A-ap)^2}{2a}$

y su derivada como

$\frac{\partial CS}{\partial p}=\left ( \frac{(A-ap)^2}{2a} \right )=2(A-ap) \left ( \frac{\partial }{\partial p} (A-ap) \right )\frac{1}{2a}=-(A-ap)\left ( \frac{\partial }{\partial p} p \right )=-A+ap$

Lo cual estoy casi seguro de que es incorrecto. No estoy seguro de cómo abordar esto sin un equalibrio o me lo estoy perdiendo?

Answer 1

Su cálculo es correcto. Podemos volver a comprobar su trabajo con un enfoque gráfico.

Como se muestra en la figura siguiente, $CS$ a un precio arbitrario y no necesariamente de equilibrio $p_0$ es el área sombreada en gris. Si adoptamos el enfoque no integral, obtenemos \begin{equation} CS=\frac12\left(\frac{A}a-p_0\right)D(p_0)=\frac12\left(\frac{A}a-p_0\right)(A-ap_0)=\frac{(A-ap_0)^2}{2a}. \end{equation} Diferenciando con respecto a $p_0$ obtenemos \begin{equation} CS'=-A+ap_0. \end{equation}

Answer 2

Aunque tu pregunta ya está respondida, sólo añado un pequeño detalle interesante que puede ayudar a hacer algunos cálculos (especialmente si la función de demanda es bastante compleja):

Véase que (para cualquier constante $a$ ):

$$f(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(x)$$

Ahora bien, si nos fijamos en la definición de CS, tenemos que $CS'=-D(p)$