Cambio de medida: Dinámica de $\log(S_t)$ con $S_t$ como numeraire

Question

Dejemos que $S$ sea un GBM con dinámica $dS_t/S_t=rdt+\sigma dW_t$ . Queremos calcular el siguiente valor esperado: \begin{align*} \mathbb{E}(S_T\log(S_T)). \end{align*} Utilizando un cambio de medida podemos escribir \begin{align*} \mathbb{E}(S_T\log(S_T)) =S_0\mathbb{\widehat E}(\log(S_T)) \end{align*} donde $\mathbb{\widehat P}$ es la medida con $S$ como numerario. ¿Cómo terminamos este problema? ¿Cuál es la dinámica de $(\log(S_t))_{t\geq 0}$ en $\mathbb{\widehat P}$ ?

Answer 1

Bajo la medida del numerario de las acciones, $\frac{B_t}{S_t}$ es una Martingala. Podemos calcular $$d\frac{B_t}{S_t}= \frac{1}{S_t}dB_t -\frac{1}{S_t^2}B_tdS_t+\frac{1}{S_t^3}B_t\sigma^2S_t^2dt\\=\frac{B_t}{S_t}\left(rdt -\mu dt -\sigma dW_t +\sigma^2dt\right)$$ por lo que la tasa de crecimiento $\mu$ que hace que esto sea una martingala es $$ \mu = r+\sigma^2.$$

Así pues, la tasa de crecimiento de las existencias según la medida numérica de las existencias es $r+\sigma^2$ .

Entonces, aplicando Ito como siempre, se puede encontrar que $\log(S_t)$ sigue un movimiento browniano con deriva $r+\frac{1}{2}\sigma^2.$ (Esto contrasta con $r-\frac{1}{2}\sigma^2$ en el caso habitual con el bono como numerario).

EDITAR

Mirando hacia atrás, veo que se me escapó la letra pequeña de que llamabas a la tasa de crecimiento de las acciones $r$ . Espero que esté claro que empecé en la medida física, llamada tasa de crecimiento de las acciones $\mu$ y se utiliza $r$ para referirse al tipo libre de riesgo.