¿Cuál es la diferencia entre un exponente de ley de potencia y el exponente de Pareto?

Question

Utilizo el ley del poder en R para ajustar una ley de potencia a mis datos. Estoy tratando de averiguar cuál es el valor del exponente de Pareto.

Supongamos que la función de masa de probabilidad está definida por:

$$ p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{min}} \left(\frac{x}{x_{min}} \right)^{-\alpha} $$

y la función de densidad acumulativa complementaria se define por:

$$ P(x) = \int_x ^\infty p(x’) dx’ = \left(\frac{x}{x_{min}}\right)^{-\alpha + 1} $$

Es el exponente de Pareto $\alpha$ o $- \alpha + 1$ o $\alpha - 1$ ? En la mayor parte de la literatura, se utiliza el CCDF para describir la distribución de la renta/riqueza, y $-(\alpha-1)$ es la pendiente de la CCDF en un gráfico logarítmico, por lo que $\alpha-1$ parece el más intuitivo. Estoy bastante seguro de que la biblioteca R ley del poder devuelve $\alpha$ como se ha definido anteriormente. Estoy utilizando Newman como referencia.

Answer 1

Una variable aleatoria $X$ tiene una distribución de Pareto con exponente de Pareto $\theta$ si $$\text{P}(X>x)=\begin{cases} \left(\frac{x}{x_m}\right)^\theta \quad \text{ if } x\geq x_{min}\\ \ \ 1 \quad \quad \quad \text{ if } x<x_{min} \end{cases}$$

En este caso, el exponente de Pareto es $\theta = \alpha - 1$ . Recuerda que $P(X>x)=\int_x^\infty p(x')\mathrm{d}x'$ .